Mathematrix: AT PSA/ Theorie/ X

Herausheben

Herausheben ist das Gegenteil von Klammer-Auflösen. Man hat einen Term ohne Klammer und versucht in den Summanden die gemeinsamen Teilterme zu finden, die dann außerhalb der Klammer bleiben. Die restlichen Terme bleiben dann als Summanden in der Klammer:

• 6x⁷ – 14x² + 10x³=?    Heben Sie heraus!

(das ist allerdings das gleiche Beispiel, wie in Klammer auflösen, nur in die Gegenrichtung).

Die kleinste Hochzahl von x ist 2. Jeder Summand hat daher ein x² drinnen. Außerdem kann man die Zahl in jedem Summand durch 2 teilen. Also jeder Summand hat daher eine 2 drinnen. 2x² ist daher das gemeinsame Element, es bleibt außerhalb der Klammer:

6x⁷ – 14x² + 10x³= 2x² · (3x⁵-7+5x)

Wie haben wir die Teilterme in der Klammer gefunden?

6x⁷ : 2x² = 3x⁵,    14x² : 2x² = 7,    10x³ : 2x² = 5x !

Bei den Hochzahlen wählt man die kleinste Hochzahl. Wenn eine Variable bei einem Summand nicht vorkommt, dann kann man sie nicht herausheben. Bei den Zahlen kann man erst die Primfaktorzerlegung durchführen und dann die gemeinsamen Faktoren herausheben:

• 45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = ?

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷    =    3·3·5 b⁴y²n⁷ – 2·3·5 y⁵n⁹ – 3·5·5 b⁸y⁸n⁸ + 3·5·7 b y n⁷

Hier haben wir die PFZ gemacht. Überall kommt 3 und 5 zumindest einmal vor, b kommt im zweiten Summand nicht vor (daher kann man b nicht herausheben), die kleinste Hochzahl von y ist 1 (y=y¹) und von n 7. Man kann also „3“, „5“, „y“ und „n⁷“ herausheben:

3·5 y n⁷ · (...?...) = 15yn⁷ · (...?...)

Was bleibt jetzt in der Klammer? Wir dividieren jeden Teilterm (Summand) mit dem herausgehobenen Teilterm (15yn⁷):

45b⁴y²n⁷ : 15yn⁷ = 3b⁴y		30y⁵n⁹ : 15yn⁷ = 2y⁴n²
75b⁸y⁸n⁸ : 15yn⁷ = 5b⁸y⁷n		105 b y n⁷ : 15yn⁷ = 7b

also:

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = 15yn⁷ ( 3b⁴y – 2y⁴n² – 5b⁸y⁷n+ 7b )

Doppelbrüche

Ein Doppelbruch ist wie die Division zwischen zwei Brüchen. Der Bruch oben wird durch den Bruch unten dividiert, also mit dem Kehrwert des Bruches unten multipliziert:

${\dfrac {\ \ {\frac {7}{12}}\ \ }{\frac {3}{20}}}={\frac {7}{12}}:{\frac {3}{20}}={\frac {7}{\cancelto {3}{12}}}\cdot {\frac {\cancelto {5}{20}}{3}}={\frac {35}{9}}$

Textaufgaben zu den linearen Funktionen

Bei den Textaufgaben über lineare Funktionen wird es normalerweise zwei Konstanten geben (also zwei Zahlen). Die Einheit einer der Zahlen wird normalerweise durch eine Änderungsrate (ein Verhältnis, einen Quotient von zwei anderen Einheiten) ausgedrückt. Diese Konstante (diese Zahl mit der Einheit "etwas" pro "etwas anderes") wird die Steigung sein, also der Koeffizient der unabhängigen Variable (i.d.R $x$). Die Einheit der Steigung wird die Form Einheit A durch Einheit B haben. Die Einheit B (z.B. Sekunde oder Meter) ist die Einheit der unabhängigen Variablen (i.d.R. $x$).

Die andere Konstante wird dann der y-Achsenabschnitt sein. Die Einheit des y-Achsenabschnitts ist auch die Einheit der abhängigen Variable und auch die erwähnte Einheit A bei der Steigung. Damit haben wir alle Elemente in einem mathematischen Zusammenhang „übersetzt“.

• Beim Taxifahren ist die Grundgebühr 4€ und jede Minute kostet dann 0,5€. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Lösung:

Hier sind zwei Zahlen angegeben: 4€ und 0,5€. Über 0,5€ ist aber auch gesagt, dass man "jede Minute" 0,5€ zahlt. Anders ausgedrückt sind es 0,5€ pro Minute. Einheit A (€) durch Einheit B (min). Das heißt, es geht um eine Änderungsrate. 0,5 soll also unsere Steigung sein. Dann ist die Grundgebühr der y-Achsenabschnitt. Die abhängige Variable wird also in € ausgedrückt (wie die Grundgebühr und die Einheit A oben in der Steigung), die unabhängige in Minuten (wie die Einheit B, die Einheit, die in der Steigung unten steht). Für beide Variablen kann man frei irgendwelche Symbole auswählen, gewöhnlich sollen sie auch sinnvoll sein, z.B. hier K für die Kosten und t für die Zeit (Englisch: time):

K(t)= 0,5 t + 4 (t in Minuten, K in €)

Man soll auch eine Entscheidung über das Vorzeichen der Steigung treffen. Das ist eher einfach. Wenn es klar ist, dass die abhängige Variable (z.B. y, hier die Kosten K) auch größer wird, wenn die unabhängige (z.B. x, hier die Zeit t) größer wird, dann ist die Steigung positiv. Bei den Kosten ist es klar, dass sie immer mehr werden, wenn die Fahrt länger dauert. Also ist die Steigung positiv.

Wenn aber es klar ist, dass die unabhängige Variable kleiner wird, wenn die unabhängige größer wird, dann ist die Steigung negativ. Schauen wir ein entsprechendes Beispiel.

• Eine Kerze mit einer Länge von 1,8 dm wird angezündet. Dabei brennt sie stündlich um ca. 0,9 cm ab. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Hier ist 0,9 cm eine Änderungsrate, also 0,9 cm pro Stunde. 0,9 ist also die Steigung. Die Kerze wird aber immer kürzer, also wird die Steigung negativ sein. 1,8 dm wird unserer y-Achsenabschnitt sein. Wir wählen L für die Länge und t für die Zeit aus:

L(t)= - 0,9 t + 18 (t in Stunden, L in cm)

Vorsicht!

Man soll immer die Einheiten schreiben und die richtigen Einheiten benutzen.

Wenn man beispielsweise für den Abstand die Einheit Meter benutzt, muss man alle angegebene Abstände in Meter umwandeln, wenn sie nicht schon in Meter angegeben sind. Der vorsichtige Leser hat vielleicht gemerkt, dass der y-Achsenabschnitt in der Funktion 18 und nicht 1,8 ist. Wir haben erst die 1,8dm in 18cm umgewandelt! Das ist notwendig, weil die Steigung in cm (und nicht dm) pro Stunde gegeben ist. Ähnlich, wenn der Wert für die Zeit in Minuten gegeben ist, muss man sie erst in Stunden umwandeln (die Steigung ist ja pro Stunden). Darauf muss man also immer aufpassen!

Schauen wir ein etwas komplexeres Beispiel.

• Der Druck in der Atmosphäre eines Planeten ist durch eine lineare Funktion angegeben. Auf 50km Höhe ist er 3 Atm, auf 200 km 1,8 Atm. Wie viel ist der Druck

1. auf der Oberfläche des Planeten?
2. auf 300 km Höhe?
3. 50 km unterhalb der Oberfläche?

In diesem Fall muss man erst die lineare Funktion mit Hilfe der beiden Punkte finden. Der aufmerksame Leser hat vielleicht schon gesehen, dass die gegebenen Punkte hier $P_{1}\ (50|3),\ \ P_{2}\ (200|1{,}8)$ sind. Wie im vorherigen Teil gezeigt, man kann die Funktion in zwei verschiedenen Weisen finden:

Man kann das lineare Gleichungssystem lösen:

P(x|y)	x	y	y=mx+n
P(50|3)	50	3	3=m·50+n
Q(200|1,8)	200	1,8	−1,8=m·200+n

oder man kann direkt die Formel für die Steigung benutzen:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

und dann den y-Achsenabschnitt finden.

Selbstverständlich bekommt man in beiden Fällen die gleiche Antwort:

m=-0,008 und n=3,4 also

$y=-0{,}008x+3,4$

Mit Hilfe der Funktion kann man jetzt die Fragen beantworten.

• Auf der Oberfläche ist die Höhe (also der x-Wert) Null. Das ist der y-Achsenabschnitt, also 3,4 Atm
• In der zweiten Frage setzt man die 300 km für den x-Wert ein: $y=-0{,}008\cdot 300+3,4=1$, also 1 Atm.
• In der dritten Frage muss man denken, dass unterhalb der Oberfläche die Höhe negativ sein wird: $y=-0{,}008\cdot (-50)+3,4=3,8$ also 3,8 Atm.

Binomische Formeln

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Allgemein kann man die binomischen Formeln als eine Art mathematisches Spiel wahrnehmen, das auf die höhere Mathematik vorbereitet.

Es gibt drei binomische Formeln:

Die Plusformel:	(a+b)²   =   a² + 2ab + b²
Die Minusformel:	(a-b)²   =   a² -2ab +b²
Die Plusminusformel:	(a+b) (a-b)   =   a² – b²

Warum (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, kann man leicht feststellen, wenn man die Potenz auf ihre Faktoren zerlegt und die Klammern aus multipliziert:

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba +b² = a² + 2ab + b²

Ähnlich kann man die anderen Formeln zeigen:

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba +b² = a² – 2ab + b²

(a+b)(a-b) = a² - ab + ba – b² = a² – b²

Nun die Aufgaben, die mit binomischen Formeln zu tun haben, gehen davon aus, dass man die binomische Formeln schon kann und an der Stelle von a und b andere Terme stehen:

• Plusformel: (3d+5)²     Hier haben wir statt a 3d und statt b 5.

(a	+	b)²	=	a²	+	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(3d	+	5)²	=	(3d)²	+	2	(3d)	(5)	+	5²
			=	9d²	+		30d		+	25

• Minusformel: (c – 4x)² Hier haben wir statt a c und statt b 4x.

(a	−	b)²	=	a²	−	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(c	−	4x)²	=	(c)²	−	2	(c)	(4x)	+	(4x)²
			=	c²	−		8cx		+	16x²

• Plusminusformel: (5u + 2v) (5u – 2v) Hier haben wir statt a 5u und statt b 2v.

(a	+	b)²	⋅	(a	−	b)	=	a²	−	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(5u	+	2v)²	⋅	(5u)	−	2v	=	(5u)²	−	(2v)²
							=	25u²	−	4v²

Binomische Formeln faktorisieren

Besonders wichtig sind die binomischen Formeln bei den Umkehraufgaben:

36x² – 60ax +25a²=?

Hier ist gefragt, den Term als Quadrat eines sogenannten Binoms oder als Produkt von Faktoren (in Klammern) zu schreiben. Man kann sofort beobachten, dass es drei Summanden gibt, drei Teilterme: 36x², 60ax, 25a². Dadurch kann man sofort die Plusminus Formel ausschließen (da gibt es nur zwei Terme: a²-b²). Da es am mittleren Term ein Minus gibt, findet man sofort, dass es um die Minusform geht. Die quadratischen Terme sind 36x² und 25a². Wenn man sich ein bisschen mit den Quadratzahlen auskennt, weiß man, dass 36 das Quadrat von 6 und 25 das Quadrat von 5 ist. Also kann 36x² nur das Quadrat von 6x und 25a² von 5a sein. Der mittlere Term sollte dann 2·6x·5a sein, was auch tatsächlich stimmt ( 2·6x·5a=60ax). Daher gilt:

36x² – 60ax +25a² = (6x – 5a)²

Binomische Formeln erkennen

Noch ein Beispiel:

121d² – 4t²

Das kann nur die Plusminusform sein, weil sie die einzige ist, die nur zwei Teilterme hat. Daher:

121d² – 4t² = (11d + 2t) (11d – 2t)

_{Bemerkung: die ersten sogenannten Quadratzahlen sind:}

^{1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²), 36 (=6²), 49 (=7²), 64 (=8²), 81 (=9²), 100 (=10²), 121 (=11²), 144 (=12²).}

Bruchterme kürzen

Die Kenntnisse dieses Kapitels kann man benutzen, um Bruchterme zu kürzen. Zuerst vereinfacht man die Terme sowohl oben (im Zähler) als auch unten (im Nenner), dann hebt man heraus, was man herausheben kann (oben und unten) und am Ende schaut man nach, ob eine binomische Formel vorhanden ist (wieder oben und unten, im Zähler und im Nenner). Am Ende, wenn man Produkte im Zähler und im Nenner hat, kann man kürzen, wenn es möglich ist: Nehmen wir beispielsweise folgenden Bruchterm:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler; ${6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}$ ist so viel wie $9x^{2}-3x$ ): 

$\textstyle {\frac {9x^{2}-3x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht oben und unten): 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(9x^{2}-6x+1)}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen. Das geht hier nur unten; der Term im Klammer  $\textstyle 9x^{2}-6x+1$ ist nach der Minus binomische Formel gleich $\textstyle (3x-1)^{2}$. Daher ergibt sich der Bruch: 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(3x-1)^{2}}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann: 

$\textstyle {\frac {3{\cancel {x}}{\cancelto {1}{(3x-1)}}}{2{\cancel {x}}(3x-1)^{{\cancel {2}}^{1}}}}$

Das Ergebnis ist daher:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}={\frac {3}{2(3x-1)}}$

Ähnlichkeit von Figuren

Wenn wir die beiden Bilder oben vergleichen, können wir sagen, dass es das gleiche Dreieck ist, nur von einem anderen Abstand gesehen oder, dass wir doch zwei verschiedene Dreiecke haben, die zwar ähnlich zueinander sind aber doch nicht das gleiche Dreieck, da die Seiten nicht gleich sind. Um auf diesen Unterschied aufmerksam zu machen, wird beim Vergleich zwei geometrischen Figuren nicht das Wort "gleich" (und "nicht gleich") benutzt, sondern die Worten "ähnlich" (und "nicht ähnlich") und "kongruent" (und "nicht kongruent").

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Seitenanzahl haben und alle entsprechenden Winkel gleich zueinander sind. Wenn dazu zumindest eine Seite (und daher auch alle andere) der beiden Figuren gleich ist, dann sagt man, dass die Figuren kongruent sind.

Das Wort "gleich" wird bei geometrischen Figuren nicht benutzt, weil es dann nicht klar ist, ob nur alle Winkel oder doch auch alle Seiten gleich sind.

Bei ähnlichen Figuren gilt, dass das Verhältnis entsprechender Seiten eine Konstante Zahl ist. Wenn wir die Seiten aus dem Bild benutzen, wird es klar, was damit gemeint ist. Nehmen wir die Seite b aus dem Bild links und die entsprechende Seite b' aus dem Bild rechts. Verhältnis in Mathematik bedeutet Bruch. Der Bruch der beiden Seiten ist dann $\textstyle {b \over {b'}}$. Werden die beiden Seiten in irgendeiner Weise gemessen, wird dann festgestellt, dass der Bruch ca. 1,5 ist. Es gilt also: $\textstyle {b \over {b'}}=1{,}5$.

Wenn wir ein anderes Paar von entsprechenden Seiten nehmen, wird das Verhältnis (der Bruch) wieder 1,5 sein: $\textstyle {c \over {c'}}=1{,}5$.

Das Verhältnis (der Bruch) von entprechenden Seiten (z.B. $\textstyle {b \over {b'}}$ oder $\textstyle {c \over {c'}}$) ist eine konstante Zahl, hier 1,5. Das gilt genauso für das dritte Paar von entsprechenden Seiten: $\textstyle {d \over {d'}}=1{,}5$.

Diese Regel gilt nicht nur in Dreiecken sondern in allen geometrischen Figuren, die ähnlich sind. Im folgenden Bild sieht man verschiedene Figuren. Alle Figuren mit der gleichen Farbe sind ähnlich.

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Beweis der Formel der Steigung einer linearen Funktion

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\ \$ist.

Wir benutzen hier 2 Punkte, wie in der entsprechenden Aufgabe mit konkreten Zahlen. Diesmal benutzen wir Symbole statt konkreten Zahlen.

$\quad$ $\left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(x_{1}|y_{1})&y_{1}&=s\ x_{1}+A&\\P(x_{2}|y_{2})&y_{2}&=s\ x_{2}+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}$

Wir formen beide Gleichungen auf A um:
$\left({\begin{array}{rl}y_{1}&=s\cdot x_{1}+A\\y_{2}&=s\cdot x_{2}+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot x_{1}\ \\|-s\cdot x_{2}\ \\\end{array}}$
$\Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}y_{1}-s\ x_{1}&=\mathbf {A} \\y_{2}-s\ x_{2}&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A),
sollen auch die linken gleich sein.
${\begin{array}{rll}y_{1}-s\ x_{1}&=y_{2}-s\ x_{2}\quad &|-y_{1}+s\ x_{2}\\s\ x_{2}-s\ x_{1}&=y_{2}-y_{1}&|{\text{s herausheben}}\\s\ (x_{2}-x_{1})&=y_{2}-y_{1}\quad &|:(x_{2}-x_{1})\\s&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}&\end{array}}$
Das Symbol $\ \Delta \$bedeutet Differenz. $\Delta y=y_{2}-y_{1}\$und $\Delta x=x_{2}-x_{1}$, daher:
$\quad$Steigung$\ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Zusammenhang linearer Funktion und direkter Proportionalität

Die direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt A null ist. Wenn wir für die Steigung der linearen Funktion das Symbol s und für den y-Achsenabschnitt das Symbol A, dann lautet die allgemeine Darstellung:

y= s·x + A

Wenn der y-Achsenabschnitt null ist, dann haben wir eine direkte Proportionalität:

y= s·x

Die Steigung ist in diesem Fall das Verhältnis (Quotient) zwischen abhängiger und unabhängiger Variable:

${\text{s}}={\frac {\text{y}}{\text{x}}}$

Es gibt allerdings noch einen Zusammenhang zwischen direkter Proportionalität und linearer Gleichung. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Änderung der unabhängigen und Änderung der abhängigen Variable:

${\text{s}}={\frac {\Delta {\text{y}}}{\Delta {\text{x}}}}$

Das bedeutet, dass eine direkte Proportionalität zwischen den beiden Änderungen besteht:

${\Delta {\text{y}}}={\text{s}}\cdot {\Delta {\text{x}}}$

Zusammenhang linearer Funktion und Ähnlichkeit ebener Figuren

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung der andere ist. Bei Figuren mit Winkeln bedeutet das, dass entsprechende Winkel gleich bleiben, die Verhältnisse (Quotienten) der entsprechenden Seiten zu einander ebenfalls.

Wenn man das große und das kleine Dreieck im Bild hier links vergleicht, dann stellt man fest, dass alle entsprechenden Winkel gleich sind (A mit D, B mit E und C mit F). Dreieck DEF ist eine Vergrößerung des Dreiecks ABC. Nehmen wir an, dass Seite DE 1,5 mal so groß wie Seite AB ist, also DE=1,5·AB. Dann muss das gleiche ebenfalls zwischen BC und EF gelten, also EF=1,5·BC. Für die Verhältnisse (Quotienten) gilt dann:

${\frac {DE}{AB}}=1,5$ und ${\frac {EF}{BC}}=1,5$

also, die Quotienten der entsprechenden Seiten sind gleich!

Seite DE ist allerdings 1,5 mal die Seite AB, also um 50% größer als AB. Das gilt allerdings genauso für Seiten EF und BC, also EF ist 50% größer als BC. Man stellt daher fest, dass bei der Ähnlichkeit von Figuren eine direkte Proportionalität (eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt gleich null) für die Längen der Seiten vorliegt: wird eine Seite größer, dann wird die andere auch und zwar um den gleichen Prozentsatz!

Einheiten der Steigung

Steigung einer Gerade: $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem s-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: $\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}$

Steigung einer Gerade: $s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem v-t Diagramm

Entsprechend können wir die physikalische Größe und die Einheiten der Steigung in einem v-t Diagramm finden. Da bei einem v-t Diagramm auf der y-Achse die Geschwindigkeit dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung $\ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$</math>

Die Steigung zeigt uns in diesem Fall eine Änderung der Geschwindigkeit, also eine Beschleunigung:

$\alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem v-t Diagramm zeigt uns die Beschleunigung

Im konkreten Beispiel rechts: $v_{1}$ ist 2 Einheiten, $v_{2}$ 5 Einheiten, daher, wenn die Einheiten m/s (Meter pro Sekunde) sind, ist $\Delta s=3\ m/s$, und für Sekunde als Einheit auf der x-Achse ist $\Delta t=6\ s$. Die Steigung und daher auch die Beschleunigung ist in diesem Fall:

$\alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3\ m/s}{6\ s}}=0{,}5{\frac {\ m/s}{6\ s}}=0{,}5\ m/s^{2}$

Von diesen Beispielen wird daher klar:

Die Steigung ist eine Änderungsrate, sie zeigt wie schnell sich die Größe der y-Achse in Bezug auf die Größer der x-Achse ändert. Die Einheiten der Steigung sind daher die Einheiten der y-Achse durch die Einheiten der x-Achse.

Noch zwei Beispiele: Wenn auf der y-Achse Kraft (in Newton) dargestellt wird und auf der x Fläche (in m²), dann ist die physikalische Größe der Steigung Druck (also Kraft durch Fläche) und die Einheit Pa (Pascal, also Newton durch m²). Wenn auf der y-Achse Masse (in kg) steht und auf der x Volumen (in $\ell$), dann ist die physikalische Größe der Steigung Dichte (also Masse durch Volumen) und ihre Einheiten kg/$\ell$.

Zahlenmengen

Einführung zu den Zahlenmengen

Einfach gesagt ist eine Menge eine Sammlung von mehreren Sachen. Viele Bücher zusammen sind eine Menge von Büchern, viele Blumen zusammen sind eine Menge von Blumen, viele Ziegen und Schafen und Kühe zusammen sind eine Menge von Tieren. Man kann sogar von einer Menge sprechen auch, wenn man eine Sache hat (z. B. ein Buch) oder keine Sache (die leere Menge). Ein Bereich der Mathematik, die Mengentheorie, beschäftigt sich mit den Mengen. In dieser Theorie spricht man auch von Zahlenmengen.

Natürliche Zahlen

Die einfachste Zahlenmenge ist die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$:

1, 2, 3, 4, 5, …

Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man mit $\mathbb {N}$. Null kann auch zur Menge der natürlichen Zahlen gehören. Wie man die Menge mit oder ohne Null schreibt, unterscheidet sich zwischen Sprachen und Kulturen.

Ganze Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen kann man mit den negativen Zahlen erweitern. Dann entsteht die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$:

… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Alle natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen. Andererseits sind NUR die positive ganze Zahlen (oder die nicht negativen) auch natürliche Zahlen!

Rationale Zahlen

Wenn man natürliche oder ganze Zahlen dividiert, bekommt man oft Zahlen mit Nachkommastellen:

$11:7=1{,}571428\dots$

Diese Zahl ist keine ganze (und daher auch keine natürliche) Zahl. Sie ist eine sogenannte rationale Zahl. Die Menge alle Zahlen, die man als Brüche von ganzen Zahlen schreiben kann, ist die Menge der rationalen Zahlen. Man soll aufpassen. 11 durch 7 (11:7) ist eine Division zwischen zwei ganzen Zahlen. Der Bruch ${\tfrac {11}{7}}$ hingegen ist eine Zahl (eine rationale Zahl), die gleich so viel ist, wie das Ergebnis (Quotient) der Division 11:7.

Wenn man zwei ganze Zahlen dividiert, kann man wieder eine ganze Zahle bekommen (wie z. B. 26:2=13) oder eine Zahl mit Nachkommastellen. Wenn das Ergebnis Nachkommastellen hat, dann ist sie keine ganze Zahl mehr.

Alle ganze Zahlen (und daher auch alle natürliche) sind auch rationale Zahlen (z. B. $7={\tfrac {14}{2}}$). NUR die rationalen Zahlen OHNE Nachkommastellen sind auch ganze Zahlen.

Für die Zahlen mit Nachkommastellen gibt es zwei Möglichkeiten: sie können endlich viele Nachkommastellen haben (z. B. $\textstyle 6{,}345={\frac {1269}{200}}$) oder unendlich viele Nachkommastellen (wie ${\tfrac {11}{7}}$). Im letzten Fall gibt es in den Nachkommastellen eine Wiederholung von der gleichen Zahlenfolge:

${\frac {11}{7}}=1{,}\ \mathbf {571428} \ \ \ {\color {Red}571428}\ \ \ {\color {Red}571428}\dots$

Diese wiederholte Zahlenfolge (hier die Zahlenfolge $\ {\color {Red}571428}$) nennt man Periode. Eine intuitive Erklärung für die Entstehung dieser Periode können wir bei der Division feststellen, wenn wir sie ohne Taschenrechner durchführen: Wenn nach der letzten Kommastelle unendlich lang Nullen geschrieben werden können und die Division dadurch weiter geführt werden kann, wird irgendwann als Rest genau die gleiche Zahl vorkommen und dadurch wird der Prozess wieder genauso wiederholt.

Die erweiterte Zahlenmenge (ganze Zahlen und dazu Zahlen mit endlich viele oder unendlich viele aber periodischen Nachkommastellen) nennt man Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.

Reelle Zahlen

Es gibt aber auch Zahlen, die zwar unendlich viele Nachkommastellen haben aber keine Periode. $\textstyle {\sqrt {2}}$ z. B. ist eine solche Zahl. Es gibt einen Beweis dafür, der zeigt, dass man $\textstyle {\sqrt {2}}$ NICHT als Bruch von zwei ganzen Zahlen ausdrücken kann. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine sogenannte irrationale Zahl. Die irrationale Zahlen (wie $\textstyle {\sqrt {2}}$) zusammen mit den rationalen (wie ${\tfrac {11}{7}}$ oder −6) bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

ALLE rationale Zahlen sind auch reelle Zahlen. NICHT alle reelle Zahlen sind auch rationale Zahlen (z. B. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine Reelle aber keine Rationale Zahl).

Zahlenmengen

Man kann also sagen: 5 ist eine natürliche aber auch eine ganze, eine rationale und eine reelle Zahl. $-{\tfrac {14}{7}}$ ist eine rationale, eine reelle aber auch eine ganze Zahl (warum? Weil −14:7 = −2 ist und −2 eine ganze Zahl ist). Sie ist aber keine natürliche Zahl (weil −2 eine negative Zahl ist). $\textstyle {\sqrt {7}}$ ist nur eine reelle Zahl und keine rationale, ganze oder natürliche Zahl. $\textstyle {\sqrt {81}}$ ist eine reelle, aber auch eine rationale, eine ganze und eine natürliche Zahl (weil $\textstyle {\sqrt {81}}=9$ ist).

Eine Darstellung der Beziehungen zwischen den Mengen kann man im Bild sehen. Die reelle Zahlen beinhalten alle anderen Mengen, sie sind sozusagen die „größte“ Menge, die natürlichen Zahlen hingegen sind in allen anderen Mengen drinnen, beinhalten aber selber keine andere Menge (zumindest nicht in diesem Bild, also, wenn wir über diese 4 Mengen sprechen). Die natürliche Zahlen sind sozusagen die „kleinste“ Menge von diesen 4 Mengen.

Potenzen mit negativer Hochzahl

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist.

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}$

Nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\$ ist gleichzeitig $\textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\$ und $a^{-2}$. Daher gilt:

${\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\$ und allgemein:

$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

$4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

Raumgeometrie Formelanwendung

Grundbegriffe

Dimension

Wir haben schon in der Geometrie der Ebene den Begriff der Strecke als auch verschiedene Figuren auf einer ebenen Fläche (z.B. Quadrat, Kreis, Dreieck, Rechteck) kennengelernt. Für eine Strecke braucht man nur die Länge angeben (z.B. 2,4dm), dann hat man sie vollständig beschrieben. Alle Strecken mit dieser Länge sind die gleiche Sache (man sagt in Mathematik: Sie sind Kongruent).

Verschiedene Rechtecke
mit gleicher Länge
und anderer Breite

Bei einem Rechteck hingegen reicht die Länge nicht aus. Es gibt unendlich viele Rechtecke mit der gleichen Länge und eine andere Breite. Diese Rechtecke sind nicht mehr die gleiche Sache. Sie haben auch einen anderen Flächeninhalt. Sie sind nicht kongruent. Man braucht daher bei Flächen zwei Zahlen, die Abstände beschreiben, beim Rechteck ist das die Länge und die Breite.

Quader mit Raumdiagonale d

Wenn man jetzt eine Figur im Raum betrachtet, z.B. einen Quader, dann reichen die Länge und die Breite wieder nicht aus. Da braucht man noch einen Abstand, die Höhe. Wenn die Höhe anders ist, dann ist auch das Volumen anders.

Die Anzahl der Abstandswerte, die man braucht, um eine Figur vollständig zu beschreiben, nennt man Dimension.

Eine Strecke ist eine eindimensionale Figur: Allein ein Abstand (die Länge), reicht aus, um sie zu beschreiben. Ein Rechteck (und alle ebene Figuren) ist eine zweidimensionale Figur: Man braucht zwei Abstände (Länge und Breite), um sie zu beschreiben. Ein Quader (und alle Figuren, die Raum besetzen) ist eine dreidimensionale Figur: Man braucht drei Abstände (Länge, Breite und Höhe), um sie zu beschreiben. In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet.

Obwohl wir Menschen uns nicht mehrere Dimensionen vorstellen können, gibt es in der Physik theoretische Modelle, die noch mehrere Dimensionen haben. Beispielsweise setzt die allgemeine Relativitätstheorie die Zeit als eine weitere Dimension des sogenannten Zeitraums voraus! Die Stringtheorie kann sogar 11 Dimensionen voraussetzen!

Körper

Ein Gegenstand in der Geometrie wird Körper genannt, wenn für seine Beschreibung drei Abstände notwendig und hinreichend sind.

Notwendig bedeutet, dass weniger Abstände nicht genügend sind, um den Körper zu beschreiben. Man kann nicht einen Quader nur mit Länge und Breite vollständig beschreiben.

Hinreichend bedeutet, dass man nicht mehrere Abstände oder eine andere Dimension für die Beschreibung braucht. Wenn die Länge, die Breite und die Höhe des Quaders gegeben sind, braucht man nicht auch die Raumdiagonale angeben (sie wird schon von den anderen drei Abständen bestimmt).

Jede dreidimensionale Figur ist ein (geometrischer) Körper. In diesem Text wird auch das Wort „Raumfigur“ dafür benutzt.

Kante

Im Kapitel über die Geometrie der Ebene haben wir den Begriff der Seite einer ebenen Fläche gesehen. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich, bei einem Rechteck gibt es eine Länge und eine Breite. Die Strecken am Rand einer ebene Figur wurden also Seiten genannt.

Die Strecken am Rand eine Raumfigur werden aber doch Kanten genannt. Das Wort „Seite“ wäre in diesem Fall verwirrend: man wüsste dann nicht, ob mit „Seite“ die Seitenfläche oder die Seitenstrecke gemeint ist. Daher benutzt man das Wort „Kante“ für die Strecken. In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet. a,b und c sind daher Kanten des Quaders. Es gibt in diesem Bild 4 Kanten, die so lang wie a sind, 4 Kanten, die so lang wie b sind, und 4 Kanten, die so lang wie c sind.

Für die ebenen Flächen, die die Figur begrenzen, benutzt man die Worte „Grundfläche“, „Seitenfläche“ und „Deckfläche“. Es gibt selbstverständlich auch Raumfiguren, die von keinen ebenen Flächen begrenzt werden, wie beispielsweise die Kugel.

Ecke und Raumdiagonale

Den Punkt, wo drei Grenzflächen aufeinander treffen, nennt man Ecke (Eckpunkt). Die Strecke zwischen zwei Eckpunkten, die nicht auf der gleichen Grenzfläche liegen, nennt man Raumdiagonale (mit d im Bild des Quaders bezeichnet).

Oberfläche

Die Grenze einer Raumfigur ist eine Fläche, Oberfläche genannt (in diesem Buch werden wir allerdings das Wort Grenzfläche dafür benutzen). Diese kann aus mehreren ebenen Flächen bestehen, wie bei einem Quader oder einer Pyramide, oder auch eine runde Fläche im Raum sein, wie bei einer Kugel, einem Zylinder oder einem Kegel. Wenn die Grenzfläche der Figur ebene Flächen beinhaltet, dann wird zwischen Grundfläche und Seitenflächen unterschieden.

Grundfläche

Pyramide

Grundfläche ist die Fläche, die im Bild unten (am Grund) steht. Bei Figuren deren Grenzflächen alle die gleiche Form haben (wie z.B. in einem Quader, wo alle Grenzflächen Rechtecke sind), kann jede beliebige Fläche der Figur als Grundfläche benutzt werden.

Wenn es eine Grenzfläche gibt, die sich von den anderen unterscheidet (wie z.B. bei der Pyramide in unserem Bild: alle Flächen außer einer sind Dreiecke), dann wird i.d.R. diese Fläche als Grundfläche bezeichnet.

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann kann ihr gegenüber nur ein Punkt oder eine ganze Fläche stehen. Wenn ihr gegenüber eine ganze Fläche steht, dann nennt man diese Fläche Deckfläche (da sie an der „Decke“ ist). Die Deckfläche kann auch rund sein. Wenn der Grundfläche gegenüber nur ein Punkt liegt (wie in der Pyramide am Bild), dann nennt man diesen Punkt Spitze.

Seitenfläche und Mantel

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann nennt man jede der restlichen Flächen Seitenfläche (außer der Deckfläche, wenn es eine gibt). Alle Seitenflächen zusammen nennt man Mantel. Der Mantel kann allerdings auch aus runden und nicht nur ebenen Flächen bestehen, wie z.B. in einem Zylinder (der auch eine Deckfläche hat, die ebenfalls ein Kreis ist) oder einem Kegel (der keine Deckfläche hat, dafür eine Spitze).

Körpernetz

• 
  Netz eines Würfels
• 
  Netz eines Quaders
• 
  Netz eines Prismas
• 
  Netz eines Zylinders
• 
  Netz eines Kegels

Wenn man die Grenzflächen eines Körpers abwickelt, so dass eine (komplizierte) ebene Figur entsteht, dann nennt man diese ebene Figur Körpernetz (oder einfach Netz). Das ist immer möglich, wenn die Grenzflächen ebene Figuren sind, allerdings nicht immer, wenn die Grenzflächen rund sind. Das ist möglich bei einem Quader, einem Zylinder oder einem Kegel aber nicht möglich bei einer Kugel oder einem Torus.

Grundfläche

Pyramide

Grundfläche ist die Fläche, die im Bild unten (am Grund) steht. Bei Figuren deren Grenzflächen alle die gleiche Form haben (wie z.B. in einem Quader, wo alle Grenzflächen Rechtecke sind), kann jede beliebige Fläche der Figur als Grundfläche benutzt werden.

Wenn es eine Grenzfläche gibt, die sich von den anderen unterscheidet (wie z.B. bei der Pyramide in unserem Bild: alle Flächen außer einer sind Dreiecke), dann wird i.d.R. diese Fläche als Grundfläche bezeichnet.

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann kann ihr gegenüber nur ein Punkt oder eine ganze Fläche stehen. Wenn ihr gegenüber eine ganze Fläche steht, dann nennt man diese Fläche Deckfläche (da sie an der „Decke“ ist). Die Deckfläche kann auch rund sein. Wenn der Grundfläche gegenüber nur ein Punkt liegt (wie in der Pyramide am Bild), dann nennt man diesen Punkt Spitze.

Seitenfläche und Mantel

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann nennt man jede der restlichen Flächen Seitenfläche (außer der Deckfläche, wenn es eine gibt). Alle Seitenflächen zusammen nennt man Mantel. Der Mantel kann allerdings auch aus runden und nicht nur ebenen Flächen bestehen, wie z.B. in einem Zylinder (der auch eine Deckfläche hat, die ebenfalls ein Kreis ist) oder einem Kegel (der keine Deckfläche hat, dafür eine Spitze).

Körpernetz

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  Netz eines Würfels
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  Netz eines Quaders
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  Netz eines Prismas
• 
  Netz eines Zylinders
• 
  Netz eines Kegels

Wenn man die Grenzflächen eines Körpers abwickelt, so dass eine (komplizierte) ebene Figur entsteht, dann nennt man diese ebene Figur Körpernetz (oder einfach Netz). Das ist immer möglich, wenn die Grenzflächen ebene Figuren sind, allerdings nicht immer, wenn die Grenzflächen rund sind. Das ist möglich bei einem Quader, einem Zylinder oder einem Kegel aber nicht möglich bei einer Kugel oder einem Torus.

Gerade und schiefe Körper

• 
  A: gerades Prisma
  B: schiefes Prisma
• 
  Gerade Pyramide
• 
  Schiefe Pyramide
• 
  Gerader Kegel
• 
  Schiefer Kegel

Wenn es bei einem Körper eine Grundfläche gibt, dann gibt es gegenüber entweder eine Fläche oder einen Punkt. Wenn der gegenüberliegende Punkt oder der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche direkt oberhalb (also senkrecht nach oben) vom Mittelpunkt der Grundfläche liegen, dann sagt man, dass der Körper gerade ist, sonst dass er schief ist.

Raumfiguren

Würfel

• 
  Würfel
• 
  Würfelnetz
• 
  Spielwürfel

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 6 kongruente („gleiche“) Quadrate besteht, nennt man Würfel.

Formeln

Mit $a$ wird die Länge der Kante bezeichnet.

Volumen: $V=a^{3}$

Oberfläche: $A_{O}=6a^{2}$

Kantensumme: $K=12a$

Raumdiagonale(rot im Bild): $d_{R}={\sqrt {3}}\ a$

Flächendiagonale(grün im Bild): $d_{F}={\sqrt {2}}\ a$

Quader

• 
  Quader
• 
  Netz eines Quader
• 
  Eine quaderförmige
  Mauerziegel

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 3 Paare paarweise kongruente („gleiche“) gegenüberliegende Rechtecke besteht, nennt man Quader.

Formeln

Mit $a$ wird hier die Länge, mit $b$ die Breite und mit $c$ die Höhe bezeichnet (wie im Bild).

Volumen: $V=abc$

Oberfläche: $A_{O}=2ab+2ac+2bc$

Kantensumme: $K=4a+4b+4c$

Raumdiagonale:$d_{R}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Flächendiagonalen: $d_{F1}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$,  $d_{F2}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$,  $d_{F3}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}$

Prisma

• 
  Prisma
• 
  Prismanetz
• 
  Optisches Prisma

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, die durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht, nennt man Prisma. Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Formeln

Es gibt viele verschiedenen Prismen, daher sollte man dafür die allgemeineren Formeln benutzen, die sich am Ende dieses Teilkapitels befinden.

Pyramide

• 
  Pyramide
• 
  Pyramidennetz
• 
  Einer der ältesten
  bekannten Pyramiden
• 
  Maya Pyramide

Definition

Wenn man alle Punkte des Umfangs eines Vieleckes mit einem Punkt (genannt „Spitze“ oder „Scheitel“) außerhalb der Ebene des Vieleckes verbindet, dann entsteht die Grenzfläche einer Pyramide. Das Vieleck bildet dann i.d.R. die Grundfläche, die Dreiecke, die durch die Verbindung des Punktes mit dem Umfang entstehen, sind dann die Seitenflächen. Höhe ist der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche.

Formeln

Es gibt viele verschiedenen Pyramiden, daher sollte man dafür die allgemeineren Formeln benutzen, die sich am Ende dieses Teilkapitels befinden.

Zylinder

• 
  Zylinder
• 
  Zylindernetz
• 
  Ein klappbarer (fast) zylinderförmiger Hut

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, die durch Parallelverschiebung einer ebenen runden Figur (z.B. eines Kreises oder einer Ellipse) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht, nennt man allgemeinen Zylinder. Das Wort Zylinder allein wird i.d.R. für den Körper benutzt, der durch Parallelverschiebung eines Kreises entsteht. Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Formeln (für einen geraden Kreiszylinder)

Mit $h$ wird hier die Höhe, mit $r$ der Radius der Grundfläche $\ A_{G}\$ bezeichnet (wie im Bild), $\ A_{M}\$ ist die Mantelfläche:

Volumen: $V=\pi r^{2}\ h$

Oberfläche: $A_{O}=2\ A_{G}+A_{M}=2\pi r^{2}+2\pi r\ h=2\pi r(r+h)$

Kegel

• 
  Gerader Kegel
• 
  Kegelnetz
• 
  Spielkegel

Definition

Wenn man alle Punkte des Umfangs einer runden ebenen Figur mit einem Punkt (genannt „Spitze“ oder „Scheitel“) außerhalb der Figurebene verbindet, entsteht die Grenzfläche eines (allgemeinen) Kegels. Die runde Figur ist dann die Grundfläche und die Fläche, die durch die Verbindung des Punktes mit dem Umfang entsteht, ist der Mantel. Wenn die runde ebene Figur ein Kreis ist, dann spricht man von einem Kreiskegel (in der Schulmathematik oft einfach Kegel genannt). Höhe ist der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche. Mit s bezeichnet man die „Mantellinie“ bei einem geraden Kegel.

Formeln (für einen geraden Kegel)

Mit $h$ wird hier die Höhe, mit $r$ der Radius der Grundfläche $\ A_{G}\$ bezeichnet (wie im Bild), $\ A_{M}\$ ist die Mantelfläche:

Volumen: $\textstyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\ h$

Oberfläche: $A_{O}=A_{G}+A_{M}=\pi r^{2}+2\pi r\ s=\pi r(2r+s)$

(wobei s die sogenannte „Mantellinie“ $s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ ist)

Kugel

• 
  Kugel
• 
  Kugel mit Längen- und Breitenkreisen
• 
  Die Erde mit Längen- und Breitenkreisen
• 
  Kugelförmige Murmeln
• 
  Gewehrkugel
• 
  Ein kugelförmiger Basketball
• 
  Flächentreue Projektion der Erde

Für einen Kugel kann man nicht ein Netz auf einer Ebene zeichnen (nur näherungsweise), was der berühmte Mathematiker und Physiker Carl Friedrich Gauß bewiesen hat.

Definition

Eine Raumfigur mit einer Grenzfläche, deren Punkte alle von einem Punkt in der Mitte der Raumfigur (Mittelpunkt genannt) den gleichen Abstand haben (Radius genannt), nennt man Kugel.

Formeln

Mit $r$ wird der Radius bezeichnet (wie im Bild).

Volumen: $\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Oberfläche: $A_{O}=4\pi r^{2}$

Die platonischen Körper

Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder

Die platonischen Körper sind Raumfiguren, dessen Grenzflächen kongruent („gleich“) zueinander regelmäßige Vielecke sind. Man hat schon in Altertum bewiesen, dass es genau 5 davon gibt: der Würfel, den wir schon gelernt haben (mit 6 Quadrate als Grenzflächen), das Tetraeder (mit vier gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen), das Oktaeder (mit acht gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen), das Dodekaeder (mit zwölf regelmäßigen Fünfecke als Grenzflächen) und das Ikosaeder (mit zwanzig gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen). Da alle Grenzflächen kongruent sind, kann man nicht durch irgendein Merkmal eine Fläche von der anderen oder eine Kante von den andern unterscheiden. Wegen dieser und anderer Eigenschaften haben diese Körper die Philosophen und Wissenschaftler seit der antiken Zeit interessiert.

Eine schöne Animation der Körper und ihrer Körpernetze findet man hier!

Andere Raumkörper

• 
  Torus
• 
  Halbkugel
• 
  Ellipsoid
• 
  Paraboloid

Selbstverständlich gibt es unendlich viele anderen Raumfiguren, hier erwähnen wir noch den Torus, die Halbkugel, die Ellipsoiden und die Paraboloiden.

Volumen- und Oberflächenregeln

Für alle Körper, die eine Grund- und eine (parellele zur Grundfläche) kongruente („gleiche“) Deckfläche haben, gilt, dass das Volumen $\ V\$die Grundfläche $\ A_{G}\$mal die Höhe $\ h\$ ist:

$V=A_{G}\cdot h$

Genauer formuliert gilt diese Regel für alle Körper, die durch Parallelverschiebung einer ebenen Fläche entstehen. Für diese Körper gilt dann, dass die Mantelfläche  $A_{M}$  die Summe deren Teilflächen ist und die gesamte Oberfläche $\ A_{O}=A_{M}+2A_{G}$. Für die Teilflächen sollte dann man die Formeln aus der Geometrie der Ebene benutzen.

Für alle Körper, die eine Grundfläche $A_{G}\$und eine gegenüber liegende Spitze haben, gilt, dass das Volumen ein drittel des Produkts der Grundfläche und der Höhe $\ h\$ ist:

$\textstyle V={\frac {1}{3}}A_{G}\ h$

Genauer gesagt muss dazu gelten, dass die Abstände zwischen Spitze und den Punkten auf dem Umfang der Grundfläche gerade sein sollen. Für diese Körper gilt dann, dass die Mantelfläche  $A_{M}$  die Summe deren Teilflächen ist und die gesamte Oberfläche $\ A_{O}=A_{M}+A_{G}\$. Für die Teilflächen sollte dann man die Formeln aus der Geometrie der Ebene benutzen.

Intuitiver Beweis der Formel des Volumens des Quaders

1 cm³ (auch „Kubikzentimeter“ genannt, Bild links) ist ein Würfel, dessen Kante 1cm ist.

Das Wort „Kubik“ stammt aus dem griechischen Wort für Würfel. Als Hochzahl bedeutet „Kubik“ hoch 3, also Kubikzentimeter (cm³), Kubikmeter (m³) usw.

Wie man jetzt im Bild rechts sehen kann, wenn man einen Quader hat, dessen Länge 3cm, dessen Breite 2cm und dessen Höhe 2cm ist, dann beinhaltet dieser Quader 12 Würfel, je 1cm³, also ist das Volumen 12cm³. Man kann daraus folgen, dass das Volumen eines Quaders allgemein die Länge mal die Breite mal die Höhe ist:

$V=a\cdot b\cdot c$

Anwendung der Formeln

Formel Einsetzen in der Raumgeometrie

Holzlineal

Quader

Die Länge eines Lineals ist 3,1 dm, seine Breite 2,5 cm, seine Dicke 2 mm. Berechnen sie die Gesamtlänge seine Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!

Wie wir in der Geometrie der Ebene schon gelernt haben, kann man in solchen Aufgaben das Volumen durch Einsetzen berechnen. Von der Aufgabe kann man schon erschließen, dass das Lineal die Form eines Quaders hat. Hier benutzt man das Wort „Dicke“ anstatt „Höhe“, also wird für diese Dimension ein anderer Name benutzt. Man kann also die Formeln, die in der Formelsammlung für den Quader stehen, benutzen:

Volumen: $V=abc$

Oberfläche: $A_{O}=2ab+2ac+2bc$

Kantensumme: $K=4a+4b+4c=4(a+b+c)$

(Mit $a$ wird hier die Länge, mit $b$ die Breite und mit $c$ die Dicke bezeichnet)

Wie aber schon im entsprechenden Kapitel erwähnt, muss man davor warnen, falschen Einheiten anzuwenden! Die Einheiten muss man erst überprüfen und, wenn notwendig, umwandeln. Das ist in dieser Aufgabe schon der Fall:

$a=3{,}1\,\mathrm {dm} \quad b=2{,}5\,\mathrm {cm} \quad c=2\,\mathrm {mm}$

Wir können alle drei Längenwerte entweder in dm oder in cm oder in mm benutzen. Lass uns hier alle in mm berechnen (wie wir es Kapitel über Einheiten gelernt haben):

$a=3{,}1\,\mathrm {dm} =310\,\mathrm {mm} \quad b=2{,}5\,\mathrm {cm} =25\,\mathrm {mm} \quad c=2\,\mathrm {mm}$

Erst jetzt können wir diese Werte in die Formel einsetzen:

Volumen: $V=abc=310\,\mathrm {mm} \cdot 25\,\mathrm {mm} \cdot 2\,\mathrm {mm} =15500\,\mathrm {mm^{3}}$

Oberfläche: ${A_{O}=2ab+2ac+2bc=2\cdot 310\,\mathrm {mm} \cdot 25\,\mathrm {mm} +2\cdot 310\,\mathrm {mm} \cdot 2\,\mathrm {mm} +2\cdot 25\,\mathrm {mm} \cdot 2\,\mathrm {mm} =16840\,\mathrm {mm^{2}} }$

Kantensumme: $K=4a+4b+4c=4(a+b+c)=4(310\,\mathrm {mm} +25\,\mathrm {mm} +2\,\mathrm {mm} )=1348\,\mathrm {mm}$

Umformen in der Raumgeometrie konkret

Bei manchen Aufgaben muss man die Formel umformen (wie bei der Geometrie der Ebene), z.B.:

Zylinder

Das Volumen eines (geraden) Zylinders ist 530cm³, seine Höhe 70mm. Wie viel ist seine Fläche?

In der Formelsammlung findet man die Formel für die Fläche:

Oberfläche: $A_{O}=2\pi \ r^{2}+2\pi \ r\ h$

Wenn man die Formel betrachtet, findet man schon das Symbol $h$ für die Höhe. Diese aber reicht nicht für die Berechnung des Volumens aus! Man braucht auch den Radius $r$ der Grundfläche. Daher wendet man sich an den anderen Vorgaben der Aufgabe. Dort findet man den Wert nicht nur für die Höhe, sondern auch fürs Volumen $V$.

Volumen: $V=\pi r^{2}h$

Die Werte sowohl fürs Volumen als auch für die Höhe sind gegeben, daher kann man durch Umformen auch den Wert für den Radius berechnen:

${\begin{aligned}V&=\pi r^{2}h&&\quad |:(\pi h)\\\textstyle {\frac {V}{\pi h}}&=r^{2}&&\quad |{\sqrt {\ \ }}\\r&\textstyle ={\sqrt {\frac {V}{\pi h}}}\end{aligned}}$

Die vorsichtige Leserin (oder Leser) hat vielleicht hier schon gemerkt, dass für die Höhe der Wert 7 anstatt 70 benutzt wurde. Wenn sie (oder er) noch den Grund nicht versteht, sollte sie bitte noch mal den vorherigen Unterkapitel über Einsetzten noch mal lesen!

Jetzt kann man leicht die Oberfläche berechnen:

$A_{O}=2\pi r(r+h)=2\pi 4,9(4,9+7)\approx 366,4\ (cm^{2})$

Bruchtermegleichungen

Bruchterme in Brüchen mit gemeinsamen Nenner umwandeln

Im Kapitel über Brüchen haben wir schon gesehen, wie man zwei gleichnamige und zwei ungleichnamige Brüche addiert:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern und entsprechend für den zweiten Bruch!

$={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}$$={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Der Vorgang ist genau der gleiche für Bruchterme.

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{a}}+{\frac {2}{a}}={\frac {5+2}{a}}={\frac {7}{a}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

${\frac {5}{a}}{\underline {\underline {\xcancel {+}}}}{\frac {2}{b}}={\frac {5\cdot b}{a\cdot b}}+{\frac {2\cdot a}{b\cdot a}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot b+2\cdot a}{a\cdot b}}\right)}$$={\frac {5b}{ab}}+{\frac {2a}{ab}}={\frac {5b+2a}{ab}}$

Wenn aber die Sache etwas komplizierter wird, dann benutzt man einen Vorgang, der sehr ähnlich zum Verfahren der Primfaktorzerlegung und ihre Anwendung bei Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen ist.

${\frac {5s}{a^{3}\ t^{6}\ x}}-{\frac {2z}{a^{2}\ t^{7}\ x\ s}}=?$

Für jeden Teilterm, jede Variable, im Nenner, wählt man die höchst Hochzahl die vorkommt. Diese wird dann im gemeinsamen Nenner benutzt. Für a ist sie 3 (a³), für t 7 (t⁷), für x ist die Hochzahl 1(x¹ also x) und für s auch 1 (also s). Der gemeinsame Nenner wird daher a³t⁷xs sein. Den Zähler multipliziert man dann, mit den aus dem Nenner fehlenden Teilen.

${\frac {5s\cdot (t\ s)}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}-{\frac {2z\cdot (a\ )}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}={\frac {5s^{2}\ t-2z\ a\ }{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}$

Wieso habe wir den Zähler im ersten Bruch (5s) mit ts multipliziert? Wir haben erst den gemeinsamen Nenner (a³t⁷xs) durch den Nenner des Bruches (a³t⁶x) dividiert:

${\frac {a^{3}t^{7}xs}{a^{3}t^{6}x}}=ts$

Mit diesem Term (diesem Ergebnis) muss man den Zähler multiplizieren. Den gleichen Prozess haben wir beim zweiten Bruch wiederholt. Dieser Prozess allerdings (gemeinsamen Nenner durch den jeweiligen Nenner dividieren) haben wir auch bei den Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen benutzt, wo wir auch die Primfaktorzerlegung angewandt haben.

Was im Zähler steht, ist nicht so wichtig. Im Nenner allerdings können die Faktoren größere Terme in Klammern sein:

${\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=?$

Finden wir erst den gemeinsamen Nenner. Es gibt im Nenner des ersten Bruches die Termen a, w, (t-1), (t+1) und (t-3). Im zweiten Bruch findet man im Nenner noch folgende Terme dazu: p, (q^2+7+r). Wir sollten für den gemeinsamen Nenner die höchste Hochzahl des jeweiligen Terms benutzen. Beispielsweise ist diese für den Term a die Hochzahl 3, für den Term w die Hochzahl 5, für den Term (t+1) die Hochzahl 5 usw. Der gemeinsame Nenner wird dann  $a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}$  sein.

Der Zähler des ersten Bruches wird durch den Quotient des gemeinsamen Nenners durch den Nenner des ersten Bruches erweitert:

${\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}=w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}$

Entsprechend für den zweiten Bruch:

${\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=a(t+1)^{3}(t-3)$

Nun kann man das Ganze in einem Bruch schreiben:

${\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=$

${\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}-{\frac {2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}=$

${\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}-2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}$

Bruchtermegleichungen lösen

Wie das Wort besagt, sind Bruchtermegleichungen Gleichungen, die Bruchterme beinhalten. Wir werden hier uns mit Bruchtermegleichungen, die nur eine unbekannte Variable beinhalten, beschäftigen. Ziel ist durch Umformungen den Wert der Variable zu finden, der die Gleichung erfüllt.

${\frac {4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

Die Schritte, um die Lösung zu finden, sind am Anfang wie die Schritten bei Abschnitt„Bruchterme kürzen“.

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler des ersten Bruches; ${4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}$ ist so viel wie $2x^{2}-x$ ): $\textstyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht nur im Zähler und im Nenner des ersten Bruches;): $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen (das geht hier nur im Nenner des Bruches auf der rechten Seite der Gleichung: $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ ):  $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann (das geht in diesem Beispiel beim ersten Bruch: $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}={\frac {2x-1}{x+1}}$ ). Damit ergibt sich:

${\frac {2x-1}{x+1}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}$

• Fünfter Schritt: Hat man diese Schritte überprüft, versucht man die Bruchterme auf den gleichen Nenner zu bringen, wie am vorherigen Teilkapitel gezeigt. Hier gibt es im Nenner zwei verschiedenen Terme, $(x+1)$  und $(x-1)$. Der Bruch auf der rechten Seite hat schon beide, man braucht (und darf) ihn NICHT erweitern. Am ersten Bruch fehlt noch der Term $(x-1)$  und mit diesem muss er erweitert werden. Am zweiten Bruch fehlt der Term $(x+1)$  und mit diesem muss er erweitert werden.

${\begin{aligned}{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ -\ 1)} }{\frac {2x-1}{x+1}}}\qquad &\qquad -{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ +\ 1)} }{\frac {2x}{x-1}}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {(2x-1)\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {2x^{2}-2x-x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\end{aligned}}$

• Sechster Schritt: Jetzt haben wir überall den gleichen Nenner. Wenn wir beide Seiten der Gleichung (also alle Brüche) mit diesem Nenner multiplizieren, dann wird er überall gekürzt.

${\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\qquad \qquad |\cdot (x-1)(x+1)$

$\left[{\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}\right]\cdot (x-1)(x+1)={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\cdot (x-1)(x+1)$

${\frac {(2x^{2}-3x+1)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}-{\frac {(2x^{2}+2x)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}={\frac {(2x+15)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}$

• Siebter Schritt: Das vorläufige Ergebnis ist daher die folgende Gleichung, die wir dann mit einfachen Umformungen lösen können:

${\begin{alignedat}{2}(2x^{2}-3x+1)&-(2x^{2}+2x)&&=2x+15\qquad |{\text{(Klammer auflösen)}}\\2x^{2}-3x+1&-2x^{2}-2x&&=2x+15\qquad |{\text{(Vereinfachen und Variablen trennen)}}\\&\quad -5x+1&&=2x+15\qquad |-1-2x)\\&\qquad -7x&&=\ 14\qquad \qquad |:(-7)\\&\qquad \quad \ x&&=-2\end{alignedat}}$ Die Lösungsmenge, also die Zahlen, die die Bruchtermegleichung am Anfang erfüllen, ist hier nur eine Zahl, die Zahl −2. Man schreibt:

$\mathbb {L} =\{-2\}$

Wie man sieht, ist die Lösung einer Bruchtermegleichung kompliziert. Das Üben und die Erfahrung machen die Sache selbstverständlich einfacher. Es gibt aber doch noch einen Schritt, um so eine Gleichung vollständig zu lösen: Die Definitionsmenge muss vorerst herausgefunden werden. Mit diesem Schritt beschäftigen wir uns im nächsten Teilkapitel.

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Gleichsetzungsverfahren

Bei diesem Verfahren formt man zwei Gleichungen auf einer Variable um und setzt dann die andere Seiten beider Gleichungen gleich. Dieses Verfahren ist nur bei bestimmten einfachen Aufgaben leicht zu verwenden und daher nicht besonders zu empfehlen. Warum das so ist, kann man gleich im Beispiel des Einsetzungsverfahrens feststellen:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Formen wir beide Gleichungen auf $x$ um:

• Die erste Gleichung geht leicht:

$x+y=8\quad$ daher

$x=8-y$

• Die zweite Gleichung ist etwas schwerer:

$3x+5y=36$	|-5y
$3x=36-5y$	|:3
$\textstyle x={\frac {36-5y}{3}}$

Das Gleichungssystem sieht jetzt wie in Folgendem aus:

${\begin{matrix}x=8-y\\x=\textstyle {\frac {36-5y}{3}}\end{matrix}}$

Da beide Ausdrücke rechts der beiden Gleichungen gleich mit $x$ sind, sind sie auch zueinander gleich:

$\textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannte, was man mit Umformen lösen kann:

$\textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y$	|⋅3
$36-5y=3(8-y)$	|(Klammer auflösen)
$36-5y=24-3y$	|−36+3y
$-2y=-12$	|:(−2)
$y=6$

und daher

$x=8-y=8-6=2$

Die Antwort ist:

$x=2$ und $y=6$

also genau wie vorher, wie es zu erwarten war.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) ist wichtig, weil es das einfachste bei komplizierteren Gleichungssystemen ist, z.B. mit mehreren Gleichungen und Variablen. Solche größere Gleichungssysteme kommen vor allem in Physik und Mathematik vor. Wie das Verfahren funktioniert kann man am Besten durch ein Beispiel verstehen.

${\begin{Bmatrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{Bmatrix}}$

Nehmen wir hier die Variable $y$ (man kann aber genauso die Variable $x$ benutzen). Der y-Koeffizient in der ersten Gleichung ist 3 und in der zweiten 2. Wenn wir den ersten Koeffizient mit 2 multiplizieren und den zweiten mit -3 bekommen wir 6 und ihre Gegenzahl -6. Wenn wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 2 multiplizieren, dann haben wir auf beiden Seiten das Gleiche gemacht und beide Seiten werden weiter gleich bleiben (siehe Gegenrechnungen). Ebenfalls wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit -3 multiplizieren, bleiben beide Seiten dieser Gleichung gleich:

${\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}2x+3y=11&\\7x+2y=-4&\end{Bmatrix}}&{\begin{matrix}\quad |\cdot 2\\\quad \quad |\cdot (-3)\end{matrix}}\end{matrix}}$

${\begin{Bmatrix}4x+6y=22\\-21x-6y=12\end{Bmatrix}}$

Wenn wir jetzt die Summe der linken Seiten und die Summe der rechten Seiten beider Gleichungen berechnen, werden die Ergebnisse gleich sein:

$4x+6y-21x-6y=22+12$

$-17x=34$

Zauberei! Jetzt haben wir nur eine Gleichung mit einem Unbekannten, die wir sofort lösen können!

$-17x=34\qquad |:(-17)$

$x=-2$

Wenn wir jetzt eine der beiden Anfangsgleichungen nehmen, können wir auch y berechnen. Nehmen wir die erste:

$2{\cancel {x}}^{(=-2)}+3y=11$ (x ist -2, wie wir gerade berechnet haben)

$2\cdot \overbrace {(-2)} ^{(=x)}+3y=11$

$-4+3y=11\qquad$|+4

$3y=15\qquad$|:3

$y=5$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher:

$x=-2$ und $y=5$

Tatsächlich kann man diese Werte in beiden Gleichungen einsetzen und feststellen, dass das Ergebnis stimmt. Ersetzen wir in beiden Gleichungen x durch -2 und y durch 5, dann bekommen wir eine wahre Aussage:

${\begin{Bmatrix}2{\cancel {x}}^{(=-2)}+3{\cancel {y}}^{(=5)}=11\\7{\cancel {x}}^{(=-2)}+2{\cancel {y}}^{(=5)}=-4\end{Bmatrix}}$

${\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}2(-2)+3\cdot 5=11\\7(-2)+2\cdot 5=-4\end{Bmatrix}}&&{\begin{matrix}_{({\text{tatsächlich }}-4+15=11)!}\qquad \\_{({\text{tatsächlich }}-14+10=-4)!}\quad \ \ \end{matrix}}\end{matrix}}$

Es gibt kein anderes Zahlenpaar, der beide Gleichungen richtig löst, also die Lösung ist eindeutig! Ist es aber immer so? Das ist das Thema des nächsten Unterkapitels.

Graphische Lösung eines linearen Gleichungssystems

Im Kapitel über lineare Funktionen wird erklärt, wie man in einem Koordinatensystem eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten zeichnen kann (zwei Punkte sind eine hinreichende und notwendige Voraussetzung, um eine lineare Funktion zu definieren; daher reichen zwei Punkte um die Funktion zu zeichnen). Nehmen wir die erste Funktion vom folgendem Gleichungssystem:

$x+y=8$	(Funktion A)
$3x+5y=36$	(Funktion B)

• 
  Funktion A
• 
  Funktion B
• 
  Funktion A und B

Man kann zwei Punkte für die Funktion finden, indem man willkürlich Werte für x angibt und die entsprechenden Werte für y findet. Für $x=0$ ist:

$x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-0$ → $y=8$.

Für $x=1$ ist:

$x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-1$ → $y=7$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion A: $P_{A1}(0|8)$ und $P_{A2}(1|7)$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion $x+y=8$ entspricht, wie im Bild „Funktion A“.

Entsprechend kann man Punkte für die Funktion B finden. Für $x=0$ ist:

$3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 0$ → $5y=36$ → $y=7{,}2$.

Für $x=1$ ist :

$3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 1$ → $5y=33$ → $y=6{,}6$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion B: $P_{B1}(0|7{,}2)$ und $P_{B2}(1|6{,}6)$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion $3x+5y=36$ entspricht, wie im Bild „Funktion B“.

Wenn wir jetzt beide Funktionen in einem Koordinatensystem zeichnen, dann bekommen wir das Bild „Funktion A und B“. Da kann man klar sehen, dass die Funktionen einander an einem einzigen Punkt schneiden, den Punkt $L(2|6)$. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems der Funktionen A und B. Leider kann man i.d.R. den $x$- und den $y$-Wert nicht genau ablesen, daher ist diese Methode nicht so genau, wie die drei Verfahren der vorherigen Absätzen.

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Wir haben in den vorherigen Absätzen folgende Gleichungssysteme gelöst:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem B
$x+y=8$		$2x+3y=11$
$3x+5y=36$		$7x+2y=-4$

Die Lösung des ersten linearen Gleichungssystems war $x=2$ und $y=6$, des zweitens $x=-2$ und $y=5$. Geht es aber immer, dass ein Gleichungssystem eine Lösung hat? Die Antwort ist nein. Probieren wir das folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen:

Gleichungssystem C
$x+2y=8$
$2x+4y=8$

Lösung

$x+2y=8\qquad$ → $x=8-2y$

$2x+4y=8\qquad$ → $2(8-2y)+4y=8\qquad$ → $16-4y+4y=8\qquad$ → $16=8\quad$!

Man sagt, dass die Aussage am Ende falsch ist. $16$ ist doch nicht gleich $8$! Das bedeutet, dass die beiden Gleichungen, die wir im Gleichungssystem haben ($x+2y=8$ und $x+2y=8$), nicht gleichzeitig erfüllt werden können. Man sagt, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Es gibt allerdings noch eine Möglichkeit. Das Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben, wie im folgenden Beispiel:

Gleichungssystem D
$x+2y=8$
$3x+6y=24$

Lösung

$x+2y=8\qquad$ → $x=8-2y$

$3x+6y=24\qquad$ → $3(8-2y)+6y=24\qquad$ → $24-6y+6y=24\qquad$ → $24=24$

Man sagt, dass die Aussage am Ende immer wahr ist. Egal wie viel $x$ ist, die beiden Gleichungen werden immer gelten. Man soll doch etwas vorsichtig sein. Wenn $y=3$ ist, dann ist $x=2$ (erste Gleichung $x+2y=8\quad$ → $x=8-2y\quad$ → $x=8-2\cdot 3\quad$ → $x=2$). Wenn $y=1$ ist, dann ist $x=6$ (erste Gleichung $x+2y=8\quad$ → $x=8-2y\quad$ → $x=8-2\cdot 1\quad$ → $x=6$). Für jedes $x$ gibt es ein bestimmtes $y$ und umgekehrt.

Allerdings gilt genau das Gleiche in der zweiten Gleichung: Wenn $y=3$ ist, ist $x=2$ ($3x+6y=24\quad$ → $3x+6\cdot 3=24\quad$ → $3x=6\quad$ → $x=2$). Wenn $y=1$ ist, dann ist $x=6$ ($3x+6y=24\quad$ → $3x+6\cdot 1=24\quad$ → $3x=18\quad$ → $x=6$). Egal welchen Wert man für $y$ benutzt, wird es für beide Gleichungen der gleiche Wert für $x$ als Lösung gelten (und umgekehrt). Es gilt nicht, dass alle Wertepaare (alle Punkte auf der Ebene) Lösungen des Gleichungssystems sind, sondern dass alle Lösungen der einen Gleichung auch Lösungen der anderen Gleichung sind.

Das war allerdings nicht der Fall, als wir eine Lösung des Gleichungssystems hatten (und auf gar keinen Fall, als wir keine Lösung hatten). Nehmen wir beispielsweise das Gleichungssystem A:

$x+y=8$

$3x+5y=3$6

Da haben wir als Lösung $x=2$ und $y=6$ gefunden. Diese Lösung gilt gleichzeitig für beide Gleichungen. Tatsächlich wenn $x=2$ ist, dann gilt für die erste Gleichung ($x+y=8\quad$ → $y=8-x\quad$ → $y=8-2\quad$ →) $y=6$ aber auch für die zweite Gleichung ($3x+5y=36\quad$ → $3\cdot 2+5y=36\quad$ → $5y=30\quad$ →) $y=6$. Wenn aber $x=3$, dann gilt für die erste Gleichung ($x+y=8\quad$ → $y=8-x\quad$ → $y=8-3\quad$ →) $y=5$. Für die zweite Gleichung hingegen gilt in diesem Fall: ($3x+5y=36\quad$ → $3\cdot 3+5y=36\quad$ → $5y=27\quad$ →) $y=5{,}4$. Die beiden Gleichungen haben den gleichen Wert für y(den Wert 6), nur wenn $x=2$ ist. Man sagt, dass Gleichungssystem A und B eine Lösung haben, Gleichungssystem C keine und Gleichungssystem D unendlich viele Lösungen haben.

Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Viel besser kann man das Ganze verstehen, wenn man die graphischen Lösungen betrachtet.

• 
  Gleichungssystem A
• 
  Gleichungssystem B
• 
  Gleichungssystem C
• 
  Gleichungssystem D

Im Gleichungssystem A gibt es nur ein Wertepaar, das für beide Funktionen stimmt: $L_{A}(2|6)$. Wenn $x=2$ ist, dann ist $y=6$ für beide Funktionen. Für jeden anderen Wert von x stimmt der Wert von y nicht mehr überein. Beispielsweise für $x=-3$ ist für die Funktion $x+y=8\quad y=11$ und für die Funktion $3x+5y=36\quad y=9$. Es gibt nur ein Wertepaar, das für beide Funktionen eine Lösung ist, und dieses Wertepaar (also der Punkt $L_{A}(2|6)$) ist die Lösung des Gleichungssystems.

Entsprechend hat auch das Gleichungssystem B nur eine Lösung, den Punkt (Wertepaar) $L_{B}(-2|5)$, wie man eindeutig im entsprechenden Bild auch sehen kann. Das ist allerdings nicht der Fall für das Gleichungssystem C. Da laufen die Darstellungen der Funktionen im Koordinatensystem (die Geraden sind) parallel zueinander, sie treffen einander nie. Sie haben daher keinen gemeinsamen Punkt und das Gleichungssystem hat daher keine Lösung (man sagt, dass die Lösung die leere Menge ist). Im Gleichungssystem D hingegen sind alle Punkte der einen Funktion auch Punkte der anderen. Alle Wertepaare, die zu diesen Funktionen gehören, sind daher auch Lösungen des Gleichungssystems D. Das System hat somit unendlich viele Lösungen. Beide Funktionen sind in diesem Fall unterschiedliche Darstellungen der gleichen Funktion. Tatsächlich, wenn man beide Seiten der zweiten Funktion (des Systems D) durch 3 dividiert, bekommt man die erste Funktion:

$3x+6y=24\qquad |:3\qquad \rightarrow \qquad x+y=8$.

Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

Ein Problem ist lösbar, wenn es möglich ist, es zu lösen. Es gibt in der Mathematik einige Probleme, bei denen es bewiesen wurde, dass sie nicht lösbar sind (beispielsweise die Klassische Probleme der antiken Mathematik). Bei linearen Gleichungssystemen bezieht sich die Frage der Lösbarkeit auf die Anzahl der möglichen Lösungen des Systems, also ob das System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. Um das herauszufinden, kann man selbstverständlich versuchen, das System tatsächlich zu lösen. Es gibt aber auch einen anderen Weg. Hier wird beschrieben, wie man mit Systemen mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten arbeitet. Für komplizierteren Systemen braucht man Matrizentheorie (Thema eines Universitätsstudiums).

Man soll zuerst beide Gleichungen in die sogenannte explizite Form umformen, also in der Form, in der y allein auf der linken Seite steht. Nehmen wir die Gleichungssysteme A, C und D des vorherigen Absatzes:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem C		Gleichungssystem D
$x+y=8$		$x+2y=8$		$x+2y=8$
$3x+5y=36$		$2x+4y=8$		$3x+6y=24$

In der expliziten Form sehen diese Systeme wie im Folgenden aus:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem C		Gleichungssystem D
$y=-x+8$		$\textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4$		$\textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4$
$y=-0{,}6x+7{,}2$		$\textstyle y=-{\frac {x}{2}}+2$		$\textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4$

Bei System A ist die Steigung unterschiedlich (-1 in der ersten Gleichung und -0,6 in der zweiten).

Wenn die Steigung der beiden linearen Funktionen unterschiedlich ist, dann hat das System mit Sicherheit genau eine Lösung.

Bei den Systemen C und D ist die Steigung überall die Gleiche ($\textstyle -{\frac {1}{2}}$). Im System C haben die Gleichungen einen anderen y-Achsenabschnitt (+4 und +2). Im System D ist hingegen auch der y-Achsenabschnitt der beiden Gleichungen der gleiche (+4)

Wenn die Steigung der beiden linearen Funktionen die gleiche ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

• Ist der y-Achsenabschnitt unterschiedlich, dann gibt es keine Lösung.

• Ist der y-Achsenabschnitt der gleiche, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

Prozentrechnung abstrakt

Prozentrechnung in Geometrie Abstrakt

Die Seite einer Figur F ist das 1,5-fache der Seite einer ähnlichen Figur G. $\quad$A) Um wie viel Prozent ist der Umfang von F $\qquad$größer als der Umfang von G? $\quad$B) Um wie viel Prozent ist der Umfang von G $\qquad$kleiner als der Umfang von F? $\quad$C) Um wie viel Prozent ist die Fläche von F $\qquad$größer als die Fläche von G? $\quad$D) Um wie viel Prozent ist die Fläche von G $\qquad$kleiner als die Fläche von F? $\quad$E) Wie lautet die Antwort zu diesen Fragen, wenn $\qquad$die Seite von F das Doppelte der Seite von G ist?

A) Er ist 1,5-1=0,5 also 50% mehr.

B) Er ist 0,5 von 1,5 also $\textstyle \ {\frac {0{,}5}{1{,}5}}=33{,}{\dot {3}}\%\$ kleiner.

$\quad$Der Umfang von G ist daher $\ 66{,}{\dot {6}}\%\$des Umfangs von F.

C) Die Fläche von F ist das $\ 1{,}5^{2}=2{,}25$-fache der Fläche von G.

$\quad$Daher ist sie 2,25-1=1,25=125% größer. Sie ist 225% der Fläche von G.

D) Umgekehrt ist sie 1,25 in 2,25 also $\textstyle \ {\frac {1{,}25}{2{,}25}}=55{,}{\dot {5}}\%\$ kleiner.

$\quad$Die Fläche von G ist daher $\ 44{,}{\dot {4}}\%\$der Fläche von F.

E) Der Umfang von F ist 2-1=1=100% und seine Fläche 2²-1=3=300% größer.

$\quad$Der Umfang von G ist 1 von 2 also $\textstyle \ {\frac {1}{2}}=50\%\$

$\quad$und die Fläche 3 von 4 also $\textstyle \ {\frac {3}{4}}=75\%\$ kleiner.

$\quad$Die Fläche von G ist also 25% der Fläche von F.

Prozentrechnung in Statistik Abstrakt

In den folgenden Beispielen gehen wir davon aus, dass es in der Bevölkerung so viele Männer gibt wie Frauen. $\quad$A) Der Anteil der Raucher unter der Bevölkerung ist 27,5%. $\qquad$Der Anteil der Raucher unter den Männern ist 35%. $\qquad$Wie viel ist der Anteil der Raucherinnen unter den Frauen? $\quad$B) Die Lebenserwartung der Bevölkerung ist 80 Jahre. $\qquad$Die Lebenserwartung der nicht-Raucher ist 82,4 Jahre. $\qquad$Wie viele Jahre weniger ist die Lebenserwartung der $\qquad$Rauchenden in Vergleich zu den nicht-Rauchenden Personen? $\quad$C) Wäre das Rauchen die einzige Erklärung für den Unterschied $\qquad$der Lebenserwartung zwischen den beiden Geschlechtern, wie $\qquad$viel Jahre wäre diese für Männer und für Frauen? $\quad$D) Welche Information ist noch notwendig, um den Einfluss des $\qquad$Rauchens auf den Lebenserwartungsunterschied zwischen den $\qquad$Geschlechtern genauer zu bestimmen? $\quad$E) Wenn wir letztere Information haben, was ist noch notwendig, $\qquad$um zu entscheiden, ob das Rauchen bei dieser Frage tatsächlich $\qquad$der einzige bestimmende Faktor ist? Vergleichen Sie ihre $\qquad$Ergebnisse mit tatsächlichen offiziellen Statistiken!

A) Denken wir zunächst einmal mit einer einfachen konkreten Zahl. Sagen wir mal, dass wir 1000 Personen haben. Da Männer und Frauen gleich so viel angenommen sind, wird es dann 500 Männer und 500 Frauen geben. Von den 500 Männern sind 35% Raucher, also 175 Männer. Von der ganzen Bevölkerung rauchen die 27,5% Personen, also im konkreten Beispiel 275 Personen. Da 175 davon Männer sind, werden die restlichen 100 Frauen sein. 100 von 500 Frauen, das sind 20% der Frauen, die rauchen.

Wie können wir das jetzt abstrakt schreiben?

50%(=0,5) sind Männer und 35%(=0,35) davon rauchen. Der Anteil der Raucher in der ganzen Bevölkerung ist daher:
Raucher: 0,5·0,35

Für das Gefragte schreiben wir x, das ist der Anteil der Raucherinnen unter der Frauen, die ebenfalls 50%(=0,5) der Bevölkerung sind. Daher gilt für den Anteil der Raucherinnen in der gesamten Bevölkerung:
Raucherinnen: 0,5·x

Die Summe der beiden Anteile wird der Anteil (27,5%=0,275) der gesamten rauchenden Personen in der gesamten Bevölkerung (100%=1) sein.Wir schreiben also:

$0{,}35\cdot 0{,}5+x\cdot 0{,}5=0{,}275\ \rightarrow \ x={\frac {0{,}275-0{,}175}{0{,}5}}=0{,}2=20\%\$

B) Man könnte hier sagen, der Unterschied ist 82,4-80=2,4 Jahre. Das stimmt allerdings überhaupt nicht. 80 Jahre ist ein Durchschnitt von rauchenden und nicht rauchenden Personen. Um das Gefragte zu beantworten, brauchen wir keine durchschnittliche Lebenserwartung, sondern die Lebenserwartung der rauchenden Personen. Wir arbeiten in der gleichen Weise, wie in Frage A und bekommen dadurch folgende Gleichung:

$0{,}725\cdot 82{,}4+x\cdot 0{,}275=80\ \rightarrow \ x={\frac {80-59{,}74}{0{,}275}}=73{,}6{\overline {72}}\approx 73{,}7\$Jahre.
Der Lebenserwartungsunterschied ist daher ca. 82,4-73,7=8,7 Jahre.

C) Lebenserwartung Männer: $0{,}65\cdot 82{,}4+0{,}35\cdot 73{,}7\approx 79{,}4\$Jahre.

$\quad$Lebenserwartung Frauen: $0{,}8\cdot 82{,}4+0{,}2\cdot 73{,}7\approx 80{,}7\$Jahre.

D) Die RaucherInnenquoten in der höheren Altersstufe sind dafür notwendig.

E) Wir müssen auch wissen, wie andere Krankheiten durchschnittlich für jedes Geschlecht die Lebenserwartung beeinflussen. Dafür können wir den Lebenserwartungsunterschied zwischen Männer und Frauen innerhalb der Gruppe der Nichtraucher und innerhalb der Gruppe der Raucher vergleichen. Sterben alle Raucher am gleichen Alter wie die Raucherinnen? Sterben aller Nichtraucher am gleichen Alter wie die Nichtraucherinnen? Wenn die Antwort zu beiden diesen Fragen ja ist, dann haben wir Gründen zu vermuten, dass das Rauchen der einzige Grund ist, warum Männer früher als Frauen sterben. Da es uns nicht klar ist, ob die offiziellen Daten unter freien Lizenz stehen, machen wir keinen Link dazu, ein Vergleich allerdings mit den tatsächlichen Daten, schließt nicht aus, dass tatsächlich das Rauchen für den Unterschied in der Lebenserwartung zwischen Männer und Frauen verantwortlich ist.

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

Im Kapitel über die binomische Formeln wurde impliziert, dass jeder Term mit zwei Summanden „Binom“ genannt wird. Beispiele:

$a+b,\ x-3\pi ,\ x^{3}+y^{2},\ 3mb^{7}-5c^{3},\ {\tfrac {m^{b}}{p}}-q$

$a+b-c$ ist dann kein Binom mehr (drei Summanden).  _{(Hier wird der erweiterte Begriff von Summand benutzt: a+b-c ist die Summe der drei Terme „a“, „b“ und „−c“)}

Wir haben bisher nur Binompotenzen mit 2 als Hochzahl gesehen. Es gibt Binompotenzen höheren Grades, also mit einer höheren Hochzahl aus dem Bereich der natürlichen Zahlen:

$(a\pm b)^{3},(a\pm b)^{4}\dots$

Bei der Erklärung der binomischer Formeln haben wir das Auflösen von Klammern benutzt. Bei $(a+b)^{3}$ wäre so was schon komplizierter, bei höheren Hochzahl schon ziemlich kompliziert. Um diese Ausdrücke ohne Klammer zu schreiben (Ausmultiplizieren), gibt es einen viel einfacheren Weg, das pascalsche_Dreieck.

Mit Hilfe dieses Dreiecks, kann man die sogenannten Koeffizienten der entstehenden Summanden leicht berechnen.

Das ganze Dreieck ist ein (gleichschenkliches) Zahlendreieck. Die Basis erweitert sich ständig, die Schenkel bestehen aus lauter Einser. Die erste zwei Zeilen sind ein gleichschenkliches Zahlendreieck mit 1 an jedem Eckpunkt.

Für die nächste Zeile schreibt man an den Rändern 1 und für die innere Zahlen addiert man immer jeweils zwei nebenstehenden Zahlen der vorherigen Zeile. Für die dritte Zeile hier schreibt man an den Rändern 1 und in der Mitte addiert man die zwei Einser von oben (Ergebnis 2):

Die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks

Die vierte und die fünfte Zeile (und alle weitere Zeilen) entstehen in der gleichen Weise:

Die ersten vier Zeilen des Pascalschen Dreiecks

Die ersten fünf Zeilen des Pascalschen Dreiecks

Wie kann man jetzt $(a\pm b)^{3}$ ausmultiplizieren?

Man schriebt eine Summe mit 4 Summanden (einen mehr als die Hochzahl des Binoms, hier ein mehr als 3). Jeder Summand besteht aus dem Produkt von a und b mit einer absteigende Hochzahl für a und eine aufsteigende Hochzahl für b. Die erste Hochzahl für a ist die Hochzahl des Binoms (hier 3 absteigend), für b ist sie Null (aufsteigend bis 3):

$a^{3}\ b^{0}+a^{2}\ b^{1}+a^{1}\ b^{2}+a^{0}\ b^{3}$

Wir benutzen dann die vierte Zeile des Dreiecks. Sie hat so viele Zahlen, wie die Anzahl der Summanden (4):

${\boldsymbol {1}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {1}}$

Diese Zahlen werden die Koeffizienten der Summanden sein:

${\boldsymbol {1}}\cdot a^{3}\ b^{0}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{2}\ b^{1}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{1}\ b^{2}+{\boldsymbol {1}}\cdot a^{0}\ b^{3}$

Wenn im Binom Plus steht (a+b), dann steht Plus zwischen allen Summanden. Wenn im Binom Minus steht (a-b), dann alternieren sich plus und minus in der Summe. Berücksichtigen wir auch folgende Tatsachen: $x^{0}=1\ \$ und $x^{1}=x$, dann ergibt sich:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}+b^{3}\ \$ und

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \$

zusammengefasst:

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}\pm b^{3}\ \$

Für $(a\pm b)^{4}\ \$ kann man dann genau in der gleichen Weise das Binom leicht ausmultiplizieren. Hier hat man fünf Summanden, also muss die fünfte Zeile des pascalschen Dreiecks benutzt werden (1 4 6 4 1):

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4\cdot a^{3}\ b+6\cdot a^{2}\ b^{2}\pm 4\cdot a\ b^{3}+b^{4}\ \$

Wenn also das Binom (3d−2c)³) ausmultipliziert werden soll, dann wird der Ausdruck für (a−b)³ und an der Stelle von a → 3d benutzt (und an der Stelle von b → 2c).

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \$

$(3d-2c)^{3}=(3d)^{3}-3\cdot (3d)^{2}\ (2c)+3\cdot (3d)\ (2c)^{2}-(2c)^{3}\ \$ also

$(a-b)^{3}=27d^{3}-54\cdot d^{2}\ c+36\cdot d\ c^{2}-8c^{3}\ \$