Benutzer:Valentin Roland/Analysis 1

Analysis1

• include:
  • all
  • print
• exclude:
  • minimal
• alias:
  • print_wideprint: print

Einleitung

• Was sind reelle Zahlen?
  • include:
    • minimal

Supremum und Infimum

• Supremum und Infimum
  • exclude:
    • print:
      • Ausblick: Suprema und Infima in Halbordnungen
• Uneigentliches Supremum und Infimum
• Supremum und Infimum bestimmen und beweisen
  • exclude:
    • print:
      • Intervalle in den ganzen Zahlen
      • Menge von Funktionswerten
      • Endliche Mengen
      • Intervalle
  • After: Mitmachaufruf
• Eigenschaften Supremum und Infimum
  • exclude:
    • print:
      • Beweis der Regeln

Folgen

• Definition
  • exclude:
    • print:
      • Anmerkungen
      • Arten von Folgen
• Explizite und rekursive Bildungsgesetze
  • exclude:
    • print:
      • Kompliziertere Beispiele
      • Weitere Anmerkungen
      • Bildungsgesetze finden
• Beispiele und Eigenschaften
  • todo: Bilder/Beispiele für beschränkte Folgen ergänzen
  • exclude:
    • print:
      • Harmonische Folge
      • Folge der Fibonacci-Zahlen
      • Mischfolgen
      • Die e-Folge
      • Anmerkung: Konvergente Folgen
• Aufgaben
  • exclude:
    • print

Konvergenz und Divergenz

• Definition Grenzwert
  • exclude:
    • print:
      • Was ist eine Umgebung einer Zahl?
  • after: Spendenaufruf
• Konvergenz und Divergenz beweisen
  • exclude:
    • print:
      • Weitere Beweismethoden für Konvergenz und Divergenz
• Beispiele für Grenzwerte
  • exclude:
    • print:
      • Harmonische Folge
      • Inverse Potenzfolge
      • Inverse Wurzelfolge
      • n-te Wurzel von c
      • Quotient Potenzfolge durch geometrische Folge
      • Quotient geometrische Folge durch Fakultätfolge
• Unbeschränkte Folgen divergieren
  • exclude:
    • print:
      • Alternativer direkter Beweis
• Grenzwertsätze
  • exclude:
    • print:
      • Probleme mit divergenten Folgen
      • Umkehrung der Betragsregel bei Nullfolgen
      • Die Potenzregel
      • Die Wurzelregel
      • Anmerkungen zur Monotonieregel
• Der Sandwichsatz
  • exclude:
    • print:
      • Nützlicher Spezialfall
      • Beispiele und Aufgaben zum Sandwichsatz
      • Beispiele und Übungsaufgabe zum Spezialfall des Sandwichsatz
• Monotoniekriterium
  • exclude:
    • print:
      • Anwendungsaufgabe
      • Folgerung für allgemeine Intervallschachtellungen
      • Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche Zahl
• Konvergenzbeweise rekursiver Folgen
  • exclude:
    • print:
      • Alternative Möglichkeit: Folge in Teleskopreihe umformen und Bildungsvorschrift berechnen
      • Übungsaufgaben
      • Anwendungsbeispiel: Babylonisches oder Heronisches Wurzelziehen
• Aufgaben
  • exclude:
    • print

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

• Teilfolgen
  • exclude:
    • print:
      • Anwendung: Konvergenz von Mischfolgen
• Häufungspunkte von Folgen
  • exclude:
    • print:
      • Häufungspunkte sind nicht eindeutig
      • Limes superior und Limes inferior
  • after: Mitmachaufruf
• Häufungs- und Berührpunkte von Mengen
  • exclude:
    • print
• Satz von Bolzano-Weierstraß
  • exclude:
    • print:
      • Alternativer Beweis (mit Monotoniekriterium)
• Bestimmte Divergenz
  • exclude:
    • print:
      • Beispiele
• Bestimmte Divergenz: Regeln
  • exclude:
    • print
• Lim sup und Lim inf
  • exclude:
    • print:
      • Beweis des Satzes
• Cauchy-Folgen
• Aufgaben
  • exclude:
    • print

Reihen

• Begriff der Reihe
  • exclude:
    • print:
      • Endliche Summen
      • Übungsaufgabe
      • Beispiel: Geometrische Reihe mit ${\tfrac {1}{2}}$
  • after: Spendenaufruf
• Rechenregeln für Reihen
  • exclude:
    • print:
      • Übersicht
      • Beispielaufgabe Summenregel
      • Beispielaufgabe Faktorregel
      • Ausblick: Reihen und Vektorräume
• Teleskopsumme und Teleskopreihe
  • exclude:
    • print:
      • Beispielaufgaben
      • Reihe ist Folge und Folge ist Reihe
• Geometrische Reihe
  • exclude:
    • print:
      • Beispielaufgaben
• Harmonische Reihe
  • exclude:
    • print:
      • Vermutung, ob die harmonische Reihe konvergiert
      • Asymptotik
      • Alternierende harmonische Reihe
      • Allgemeine harmonische Reihe
      • Die Reihe der reziproken Quadratzahlen
• Absolute Konvergenz einer Reihe
  • exclude:
    • print:
      • Vertiefung: Bedingte und unbedingte Konvergenz
• Umordnungssatz für Reihen
  • todo: Farben verändern
  • todo: Induktionsschritt bei endlichen Summen
  • exclude:
    • print:
      • Umgeordnete Reihen können divergieren
      • Unbedingte und bedingte Konvergenz

Kriterien für Konvergenz von Reihen

• • todo: Kurzversion Kapitel Cauchy-Kriterium?

• Trivialkriterium
  • todo: evtl. Anschauung einfügen/ Anfangstext
  • exclude:
    • print:
      • Beweis über Cauchy-Kriterium
• Majoranten- und Minorantenkriterium
  • exclude:
    • print:
      • Folgerung: Grenzwertkriterium
• Wurzelkriterium
  • after: Mitmachaufruf
• Quotientenkriterium
  • exclude:
    • print:
      • Vertiefung: Kriterium von Raabe
• Leibniz-Kriterium
  • exclude:
    • print:
      • Warnbeispiele zur Beachtung der Voraussetzungen
      • Folgerung: Fehlerabschätzung für den Grenzwert
      • Verallgemeinerung des Leibniz-Kriteriums: Dirichlet-Kriterium
• Anwendung der Konvergenzkriterien
  • exclude:
    • print:
      • Entscheidungsbaum zur Bestimmung der Konvergenz und Divergenz
      • Anwendungsbeispiel 1
      • Anwendungsbeispiel 4

Stetigkeit von Funktionen

• Stetigkeit von Funktionen
  • exclude:
    • print
• Folgenkriterium
  • exclude:
    • print:
      • Auswirkungen der Definition
      • Beispiel für das Folgenkriterium
      • Zusammenhang zum Epsilon-Delta-Kriterium
      • Sprungstellen und Stetigkeit
      • Übergang zur formalen Definition
      • Allgemeine Beweisskizzen
      • Übungsaufgaben
• Epsilon-Delta-Kriterium
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgaben
      • Beispielaufgaben
      • Herleitung des Epsilon-Delta-Kriterium für Unstetigkeit
      • Beispiel einer stetigen Funktion
      • Beispiel einer unstetigen Funktion
      • Zusammenhang mit dem Folgenkriterium
      • Abhängigkeiten der Variablen
• Grenzwert von Funktionen
  • exclude:
    • print
• Komposition stetiger Funktionen
  • exclude:
    • print:
      • Motivation
      • Vertiefung
      • Beweise der Verkettungssätze
      • Vergleich zum Epsilon-Delta-Kriterium
      • Allgemeine Beweisskizze
      • Folgerung: Polynomfunktionen sind stetig
• Stetigkeit beweisen
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgaben
      • Wiederholung: Folgenkriterium
      • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
      • Verkettung stetiger Funktionen
  • after: Spendenaufruf
• Unstetigkeit beweisen
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgaben
      • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
      • Wiederholung: Folgenkriterium
  • todo: Bild mit den Punkten sollte vergrößert werden. Vielleicht auch die anderen!
• Zwischenwertsatz
  • exclude:
    • print:
      • Folgerungungen aus dem Zwischenwertsatz
      • Übungsaufgabe: Nullstellen und Wertebereich von Polynomen
      • Übungsaufgabe: Existenz von Wurzeln
      • Übungsaufgabe: Lösung einer Gleichung
      • Voraussetzungen zum Fixpunktsatz
• Satz vom Minimum und Maximum
  • exclude:
    • print:
      • Die Voraussetzungen des Satzes
      • Übungsaufgabe: Bild von Polynomen geraden Grades
      • Übungsaufgabe: Stetige Funktion auf [0,1]
• Stetigkeit der Umkehrfunktion
  • exclude:
    • print
• Gleichmäßige Stetigkeit
  • exclude:
    • print:
      • Gleichmäßige Stetigkeit als Verschärfung der Stetigkeit
      • Wiederholung: Visualisierung beim Epsilon-Delta-Kriterium
      • Gleichmäßige Stetigkeit ist eine globale Eigenschaft
      • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
      • Herleitung der Negation der gleichmäßigen Stetigkeit
      • Quantorenschreibweise
• Lipschitz-Stetigkeit
  • exclude:
    • print

Ableitung

• Ableitung
  • exclude:
    • print:
      • Ableitung als verallgemeinerte Steigung
      • Beispiel: Kleinwinkelnäherung des Sinus
      • Notationen
      • Übersicht zu allen Notationen
      • Beschreibung der Ableitung über stetige Funktion
      • Differenzierbare Funktionen sind knickfrei
      • Beispiel: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar
      • Übungsaufgaben
• Ableitungsregeln
  • exclude:
    • print:
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
• Spezielle Ableitungsregeln
  • exclude:
    • print
• Ableitung der Umkehrfunktion
  • exclude:
    • print:
      • Beispiele
      • Übungsaufgaben
      • Umkehrung des Satzes und Erweiterung auf gesamten Definitionsbereich
  • todo: Größere weiße Leerräume entfernen (wohl ein Fall für die Programmierer)
• Beispiele für Ableitungen
  • exclude:
    • print:
      • Beispiele zur Berechnung von Ableitungen
• Ableitung höherer Ordnung
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgaben zu höheren Ableitungen
      • Rechenregeln für höhere Ableitungen
• Satz von Rolle
  • exclude:
    • print:
      • Zu den Prämissen des Satzes
      • Weitere Übungsaufgabe
      • Übungsaufgabe
      • Ausblick: Satz von Rolle und Mittelwertsatz
• Mittelwertsatz
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgabe
      • Ungleichung zum Logarithmus
      • Praxis: Geschwindigkeitskontrolle mit Lichtschranken
      • Lipschitz-Variante des Schrankensatz
      • Aufgabe zum zweiten Mittelwertsatz
      • Äquivalenz von Mittelwertsatz und Satz von Rolle
      • Zweiter Mittelwertsatz
      • Übersicht der Folgerungen aus den Mittelwertsätzen
  • after: Mitmachaufruf
• Konstanzkriterium
  • exclude:
    • print:
      • Anwendung: Charakterisierung der Exponentialfunktion
      • Intervallvoraussetzung des Konstanzkriteriums
      • Funktionalgleichung für Arkustangens
      • Charakterisierung vom Sinus und Kosinus
      • Trigonometrischer Pythagoras
• Monotoniekriterium
  • exclude:
    • print:
      • Übungsaufgaben
      • Trigonometrische Funktionen
      • Quadratische und kubische Funktionen
      • Beweis
• Ableitung und lokale Extrema
  • exclude:
    • print:
      • Beispiele
      • Übungsaufgaben
      • Beispiel
      • Bedingungen sind nicht notwendig
      • Erweitertes hinreichendes Kriteriums
• Regel von L'Hospital
  • exclude:
    • print
• Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
  • exclude:
    • print
• Aufgaben 1
  • exclude:
    • print
• Aufgaben 2
  • exclude:
    • print
• Aufgaben 3
  • exclude:
    • print
• Aufgaben 4
  • exclude:
    • print

Integrale

• Das Integral
  • exclude:
    • print:
      • Definition als Fläche unter dem Graphen
      • Definition über Stammfunktion
      • Probleme mit der Definition
      • Ablage
• Riemannintegral
  • exclude:
    • print:
      • Beispiele
      • Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral
      • Berechnung des Riemannintegrals
      • Folgenkriterium
• Eigenschaften des Riemannintegrals
  • exclude:
    • print:
      • Herleitung und Beweis der Eigenschaften
• Regelintegral
  • exclude:
    • print
• Mittelwertsatz für Integrale
  • exclude:
    • print:
      • Verallgemeinerter Mittelwertsatz
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • exclude:
    • print:
      • Integralfunktion
      • Zusammenhang: Integral- und Ableitungsfunktion
      • Aufgaben
• Substitutionsregel
  • exclude:
    • print:
      • Berechnung von bestimmten Integralen
      • Berechnung von unbestimmten Integralen
      • Spezialfälle
      • Aufgaben
      • „Umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel mit Beispielen
• Partielle Integration
  • exclude:
    • print:
      • Aufgaben
      • Herleitung von Rekursionsformeln
      • Satz und Beweis
      • Typ: ${\textstyle \int 1\cdot f'(x)\,\mathrm {d} x}$
      • Typ: ${\textstyle \int x\cdot f'(x)\,\mathrm {d} x}$
  • after: Spendenaufruf
• Beispiele für Integrale
  • include:
    • minimal
  • exclude:
    • print
• Aufgaben
  • include:
    • minimal
  • exclude:
    • print