Analysis 1

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Was ist Analysis?

Was ist eigentlich Analysis?

Ein Mathematikstudium beginnt normalerweise mit den beiden Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra, wobei die lineare Algebra ein Teilgebiet der Algebra ist. Analysis und Algebra bilden die beiden Grundpfeiler der modernen Mathematik, die ihrerseits auf der Mengenlehre fußen. Wir werden uns also eine ganze Weile mit diesen beiden Bereichen beschäftigen. Soweit, so gut – doch worum geht es in beiden Vorlesungen überhaupt? Was tut ein Algebraiker und was ein Analytiker? Mit welchen Fragen beschäftigen sie sich? Es ist sinnvoll, zu Beginn einen kleinen Vorgeschmack zu geben, was uns in welchem Bereich erwartet, um den „roten Faden“ einer jeden Vorlesung besser sehen zu können.

Die Algebra, oder viel mehr eine Algebra, ist, ähnlich wie die rationalen oder die reellen Zahlen, eine Art „Zahlenraum“: In einer Algebra kann man addieren und multiplizieren. So beschäftigt sich die Algebra zu einem großen Teil mit Umformungen, die durch Addition oder Multiplikation entstehen, wobei auch das Wurzelziehen dazu gehört. In der Algebra möchte man unter anderem die Frage beantworten, wie man eine Gleichung umformen muss, um sie zu „lösen“ und ob eine bestimmte Gleichung überhaupt lösbar ist. Generell beschäftigt sich die Algebra häufig mit Gleichungen und eher selten mit Ungleichungen.

In der linearen Algebra treten alle beteiligten Größen einer Gleichung nur in erster Potenz (also in linearer Ordnung) auf. Eine klassische Fragestellung aus der linearen Algebra ist die, wann sich ein Gleichungssystem der folgenden Form lösen lässt:

{\begin{array}{ccccccccccc}a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{1n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{2n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}&+&a_{m2}\cdot x_{2}&+&a_{m3}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}

Beachte, dass alle $x_{i}$ hier nur in erster Potenz, d. h. „hoch eins“ auftauchen, die wegen $x^{1}=x$ im obigen Gleichungssystem weggelassen wurde.

Die Analysis auf der anderen Seite beschäftigt sich mit der Stetigkeit von Funktionen, mit Grenzwerten, mit der Differential- und der Integralrechnung. Wenn wir eine Funktion wie zum Beispiel

f\ :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}-9}}

betrachten, so ist die Suche nach ihren Nullstellen algebraischer Natur. Wenn wir uns aber für ihr Verhalten in der Nähe ihrer Polstellen oder ihr Verhalten für $x\rightarrow \pm \infty$ interessieren, so ist das eine analytische Fragestellung. Ebenso ist die Untersuchung ihrer Steigung und ihrer Krümmung ein analytisches Vorhaben.

Eine weitere Frage der Analysis ist die, ob es Funktionen gibt, die unstetig sind, aber nirgends einen „Sprung“ machen – die Antwort hierauf lautet „ja“. Ferner können wir uns fragen, ob eine Funktion, die differenzierbar ist, eine unstetige Ableitung haben kann – auch hier ist die Antwort „ja“ – oder ob ihre Ableitung einen der eben erwähnten Sprünge aufweisen kann – diesmal lautet die Antwort „nein“. Wir folgern somit, dass eine Funktion mit Sprung niemals die Ableitung einer anderen Funktion sein kann. Sie kann aber trotzdem integrierbar sein. Die Berechnung ihres Integrals ist ebenfalls Aufgabe des Analytikers.

Die Analysis gibt uns Konzepte an die Hand, mit denen wir die aktuelle Änderung einer Funktion beschreiben können. Diese Konzepte werden in den Naturwissenschaften verwendet, um Naturgesetze oder Formeln für bestimmte Modelle aufzustellen. Dies ist auch der Grund, warum die Analysis eine so wichtige Rolle für die Naturwissenschaften spielt. Der Analytiker untersucht, wie die Veränderung eines Systems vorhergesagt werden kann, und wie exakt solche Vorhersagen sind.

Wir haben damit bereits einen kleinen Einblick in die Welt der Mathematik gewonnen und wissen zumindest grob, was uns auf welcher Seite (Algebra und Analysis) erwartet. Oft bevorzugt ein Mathematiker eine der beiden Seiten, ist also eher Algebraiker oder eher Analytiker. In Wirklichkeit kommt jedes der beiden Gebiete nicht ohne das jeweils andere aus. Es muss also nicht beim entweder – oder bleiben, denn beide Felder können gleichermaßen interessant und bereichernd sein. Zumindest in diesem Projekt werden wir uns der Analysis widmen…

Wozu Analysis studieren?

Wieso sollte ich Analysis studieren? Dies ist eine berechtigte Frage, auf die zu Beginn jeder Vorlesung und jedes Lehrbuchs zur Analysis eingegangen werden sollte. Ich möchte dir in diesem Kapitel einige der Gründe darlegen.

Analysis als Grundlage der Mathematik

Die Analysis ist eine der grundlegenden Vorlesungen der Mathematik. Viele Theorien wie die Funktionentheorie, Funktionalanalysis und die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen bauen direkt auf ihr auf. Außerdem werden zahlreiche Konzepte der Analysis in abgewandelter Form in anderen Bereichen der Mathematik verwendet.

Um Mathematik studieren zu können, ist es daher unumgänglich, sich auch mit Analysis zu befassen. Diese Theorie wird ein Schlüssel sein, um andere mathematische Teilbereiche zu verstehen. Egal für welche Gebiete in der Mathematik du dich interessierst, du wirst dafür sehr wahrscheinlich Hintergrundwissen aus der Analysis benötigen.

Das Gleiche gilt, wenn du Mathematik vor allem als Werkzeug für dein Studium oder deine Forschung verwendest. Was auch immer du aus der Mathematik brauchst, Kenntnisse in der Analysis werden dir mit hoher Wahrscheinlichkeit helfen, deine mathematischen Werkzeuge und Hilfsmittel zu verstehen.

Analysis als Sprache der Natur

Die meisten naturwissenschaftlichen Problemstellungen werden mit Hilfe von Konzepten modelliert, die du in der Analysis kennen lernen wirst: Wie lassen sich Ort und Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts bestimmen und vorhersagen? Wie lässt sich das elektrische Feld eines Systems geladener Körper berechnen?

Der Anwendungsbereich der Analysis reicht von einfachen Problemen bis hin zu modernen Forschungsgebieten wie axiomatische Quantenfeldtheorien oder die quantitative Modellierung biologischer Prozesse. Eine sehr gute Kenntnis dieser Konzepte wird dir demnach helfen, die Gesetze der Natur zu verstehen und zu formulieren. Wenn du also Student einer Naturwissenschaft sein solltest oder dich generell für eine Naturwissenschaft interessierst, wird dir ein Studium der Analysis äußerst hilfreich sein.

Analysis in der Schule

Die Analysis ist eine der wenigen Vorlesungen im Mathematikstudium, die bereits in der Schule gelehrt werden. Wenn du also Mathematik auf Lehramt studierst, wirst du Kenntnisse dieser Vorlesung direkt für deinen späteren Lehrberuf verwenden können. Ein tiefgründiges Verständnis der Analysis wird dir helfen, deinen Schülern die Mathematik besser zu erklären.

Analysis als exakte mathematische Theorie

Anders als du die Analysis in der Schule kennen gelernt hast, werden wir in diesem Buch die Theorie mathematisch exakt formulieren. Das heißt, dass wir jeden Satz rigoros beweisen und jeden Begriff exakt definieren werden. Am Ende wirst du beispielsweise wissen, wieso die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ gleich $2x$ ist und was eine „Ableitung“ überhaupt ist. Wir werden dabei jeden Begriff motivieren, damit du auch weißt, warum wir gewisse Konzepte in der Analysis einführen. Dadurch wirst du nicht nur dein Schulwissen über die Analysis vertiefen, dieses Wissen kann dir auch helfen, komplizierte Probleme der Analysis zu lösen.

Analysis als Übung für mathematisches Denken

Dass die Analysis bereits in der Schule gelehrt wurde, hat auch einen weiteren Vorteil: Der Stoff ist bereits mehr oder weniger bekannt, was uns die Chance gibt, uns mehr auf die mathematische Arbeitsweise zu konzentrieren. Das exakte und saubere mathematische Arbeiten ist nämlich ungewohnt und muss am Anfang eines Studiums erst geübt werden. Die Analysis bietet sich hierfür hervorragend an.

Auch wenn du später keine Analysis mehr brauchen solltest, ist eine erlernte mathematische Denk- und Arbeitsweise sehr nützlich für dich. Studenten der Mathematik (und auch naturwissenschaftlicher Fächer) sind gerade aufgrund dieser Fähigkeit bei Arbeitgebern beliebt. Ich bin mir sicher, dass dir die mathematische Denk- und Arbeitsweise bei deinen Projekten und Aufgaben sehr helfen wird.

Was sind reelle Zahlen?

Motivation der unterschiedlichen Zahlen Mengen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Reelle Zahlen bilden die Grundlage für dieses Lehrbuch. Schließlich wollen wir uns mit Folgen reeller Zahlen oder mit reellwertigen Funktionen beschäftigen. Bevor wir mit dem Studium der Analysis beginnen, sollten wir uns zunächst fragen: Was sind reelle Zahlen?

Das ist gar keine einfache Frage. Schauen wir uns zunächst auf der Meta-Ebene die Möglichkeiten an, diese zu definieren.

Die Beschreibungsmöglichkeiten reeller Zahlen

Jeder von uns hat bereits eine intuitive Vorstellung, was reelle Zahlen sind, auch wenn nicht alle diese Idee in Worte fassen können. Beispielsweise kann man sich die reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden vorstellen:

Vorstellung der reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden

Unsere Aufgabe besteht darin, diese intuitive Idee in die exakte Sprache der Mathematik zu übersetzen. Dazu haben wir zwei Möglichkeiten: die axiomatische und die konstruktive Beschreibung.

Die axiomatische Beschreibung

Bei der axiomatischen Beschreibung wird nicht direkt gesagt, was reelle Zahlen sind, es wird vielmehr nur erklärt, welche Eigenschaften sie haben. Bei dieser Herangehensweise sagen wir: „Die reellen Zahlen sind eine Menge von Objekten, die folgende charakteristische Eigenschaften besitzen: <Aufzählung der Eigenschaften reeller Zahlen>“. Die grundlegenden Eigenschaften werden dabei über Axiome festgelegt. Zur Erinnerung: Ein Axiom ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird. Jedes mathematische Modell, das alle genannten Eigenschaften/Axiome erfüllt, wird als Modell der reellen Zahlen angesehen. Aussagen, die auf Grundlage der Axiome bewiesen werden, werden Theoreme genannt.

Bei der Wahl der Axiome müssen wir darauf achten, dass sie widerspruchsfrei sind. Es muss also mindestens ein Modell geben, das alle Axiome erfüllt. Beispielsweise können wir nicht sagen, dass gleichzeitig $1<0$ als auch $1\geq 0$ gelten soll. Eine solche Struktur kann es nämlich nicht geben. Außerdem sollten die Axiome nachvollziehbar sein, also wirklich Eigenschaften bezeichnen, die wir auch intuitiv den reellen Zahlen zuschreiben.

Des Weiteren müssen ausreichend viele Axiome zur Charakterisierung der reellen Zahlen definiert sein. Bei zu wenigen Axiomen könnten auch Strukturen diese erfüllen, die wir intuitiv nicht als Modell reeller Zahlen ansehen. So ist es beispielsweise nicht ausreichend zu sagen, dass es für die reellen Zahlen eine Addition $+$ mit $x+y=y+x$ für alle $x$ und $y$ gibt. Allein dieses Axiom ist zu wenig, denn die natürlichen Zahlen erfüllen diese Eigenschaft auch. Sie sind für uns aber kein Modell reeller Zahlen.

Außerdem soll eine gewisse Sparsamkeit beachtet werden: Es sollten keine Axiome unnötig definiert werden. Dies bedeutet, dass keine Eigenschaften als Axiome benannt werden, die sich bereits aus anderen Axiomen herleiten lassen. Wenn also aus den Axiomen $A_{1}$ und $A_{2}$ bereits folgt, dass auch die Eigenschaft $E$ erfüllt sein muss, dann wird $E$ nicht extra als Axiom definiert.

Die konstruktive Beschreibung

Bei der konstruktiven Beschreibung werden die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruiert. Das bedeutet, dass durch ein gewisses Verfahren aus rationalen Zahlen neue Objekte geschaffen werden, welche man danach als reelle Zahlen definiert.

Anders als bei der axiomatischen Beschreibung, welche die reellen Zahlen nur durch ihre Eigenschaften beschreibt, kann man beim konstruktiven Verfahren genau sagen, was die reellen Zahlen sind. Es sind genau die Objekte, die durch das Konstruktionsverfahren entstanden sind. Die Eigenschaften der reellen Zahlen müssen bei dieser Beschreibung auch nicht durch Axiome definiert werden, sondern ergeben sich aus den Eigenschaften der konstruierten Objekte.

Es gibt mehrere Konstruktionsverfahren der reellen Zahlen^[1]. Die dabei entstandenen Strukturen sind jedoch äquivalent in dem Sinne, dass sie dieselben Eigenschaften haben (man nennt solche Strukturen „isomorph“).

Der Zusammenhang beider Beschreibungen

Beide Vorgehensweisen liefern am Ende dieselben Ergebnisse. Wenn man für ein konstruiertes Modell alle diejenigen Eigenschaften nachweisen kann, die man als Axiome in der axiomatischen Beschreibung definiert hat, dann besitzt das Modell auch die Eigenschaften, die man aus den Axiomen hergeleitet hat. Wenn man umgekehrt in der konstruierten Beschreibung nur diejenigen Eigenschaften des Modells für spätere Argumentationen heranzieht, die man in der axiomatischen Beschreibung als Axiome definieren würde, dann kann man auch alle mit dem Modell bewiesenen Sätze in der axiomatischen Beschreibung beweisen.

Es ist also egal, welchen Weg wir wählen. Zu Beginn gehen wir den Weg der axiomatischen Beschreibung, weil er leichter zu verstehen ist (für die konstruktive Beschreibung brauchen wir Konzepte, die Studienanfänger in der Regel noch nicht oder nicht ausreichend kennen).

Zusammenfassung: Weg zur axiomatischen Beschreibung reeller Zahlen

Um die Axiome der reellen Zahlen zu finden, kann man folgendermaßen vorgehen:

Intuitive Idee entwickeln: Zunächst brauchen wir eine intuitive Idee der reellen Zahlen. Hierzu können wir beispielsweise auf die intuitive Idee zurückgreifen, dass reelle Zahlen Punkte auf der Zahlengeraden sind.
Axiome definieren: Nun müssen alle Axiome definiert werden. Dazu müssen wir folgende Punkte beachten:
- Nachvollziehbarkeit: Die Axiome sollten sinnvoll sein. Das bedeutet, dass jedes Axiom intuitiv nachvollziehbar ist.
- Widerspruchsfreiheit: Die Axiome müssen in sich widerspruchsfrei sein. Das kann implizit dadurch gezeigt werden, dass ein konkretes Modell der reellen Zahlen konstruiert werden kann. Damit es ein Modell der reellen Zahlen geben kann, müssen die Axiome nämlich in sich widerspruchsfrei sein.
- Vollständigkeit: Sobald ein Modell alle Axiome erfüllt, sollte es unserer intuitiven Vorstellung von reellen Zahlen entsprechen. Alle Theoreme über reelle Zahlen müssen wir aus den Axiomen herleiten können.
- Sparsamkeit: Kein Axiom kann aus den anderen hergeleitet werden.
Begriffe definieren und Theoreme beweisen: Aufbauend auf den Axiomen werden wir Grundbegriffe der Analysis einführen und die Theoreme der Analysis beweisen.

In der Analysis werden alle Theoreme mit Hilfe der Axiome reeller Zahlen bewiesen. Dabei wird es zwangsweise vorkommen, dass wir Konzepte einführen oder Sätze beweisen, die schon aus der Schule bekannt sind – wie die Gleichung $1\cdot 0=0$ . Bei diesen Beweisen ist es wichtig, dass wir nur solche Eigenschaften reeller Zahlen heranziehen, die entweder in den Axiomen definiert wurden oder die wir bereits bewiesen haben. Bekannte Tatsachen aus der Schule dürfen nicht ohne weiteres verwendet werden!

Die Axiome der reellen Zahlen können in drei Gruppen aufgeteilt werden: Die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom.

Die Körperaxiome

Mit den Körperaxiomen wird die Addition und Multiplikation, also die arithmetische Struktur der reellen Zahlen, definiert. Die reellen Zahlen sind Objekte, die addiert und multipliziert werden können, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Additionen und Multiplikationen genannt werden. Die Subtraktion und die Division werden auf die Addition beziehungsweise die Multiplikation zurückgeführt. Diese Axiomengruppe beschreibt, wie man mit reellen Zahlen rechnen kann.

Definition (Körperaxiome)

Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei Operationen $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definiert. Diese erfüllen folgende Eigenschaften:

Eigenschaften der Addition:
- Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x+(y+z)=(x+y)+z$ .
- Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x+y=y+x$ .
- Existenz der Null: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0\in \mathbb {R}$ , für die $0+x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
- Existenz des Negativen: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $-x$ mit $x+(-x)=0$ .
Eigenschaften der Multiplikation:
- Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$ .
- Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x\cdot y=y\cdot x$ .
- Existenz der Eins: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1\in \mathbb {R}$ mit $1\neq 0$ , für die $1\cdot x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
- Existenz des Inversen: Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $x\cdot x^{-1}=1$ .
Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ .

Die Anordnungsaxiome

Die Anordnungsaxiome beschreiben die lineare Ordnung der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind also Objekte, die man miteinander vergleichen kann, wobei für zwei verschiedene reelle Zahlen entweder die eine Zahl größer ist als die andere oder umgekehrt. Dadurch ergibt sich ein wesentlicher Zusammenhang der Struktur der reellen Zahlen mit der einer Geraden, da auch die Punkte einer Geraden in natürlicher Art und Weise geordnet sind. Diese Axiomengruppe ist also wesentlich für die Vorstellung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden. In dieser Axiomengruppe wird auch definiert, wie die Operationen der Addition und Multiplikation mit der Ordnungsstruktur in Verbindung stehen.

Die Ordnung der reellen Zahlen kann dadurch beschrieben werden, dass wir alle positiven Zahlen kennen. Wenn $x$ eine positive Zahl ist, schreiben wir $0<x$ . Die Positivität der reellen Zahlen wird dabei über die Anordnungsaxiome definiert:

Definition (Anordnungsaxiome)

Die Anordnungsaxiome lauten

Trichotomie der Positivität: Für alle reellen Zahlen $x$ gilt entweder $0<x$ oder $x=0$ oder $0<-x$ . Mit den Abkürzungen " $\forall$ " für "für alle" und " ${\dot {\lor }}$ " für "entweder oder" können wir dies schreiben als
$\forall x\in \mathbb {R} :0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<a+b$ . In Zeichen:
$\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<ab$ . In Zeichen:
$\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Mit Hilfe der Positivitätseigenschaft $0<x$ können wir die Kleiner-Relation definieren:

Definition (Kleiner-Relation)

Die Kleiner-Relation $x<y$ ist durch folgende Äquivalenz definiert:

x<y:\iff 0<y-x

Es ist also genau dann $x$ kleiner als $y$ , wenn die Differenz $y-x$ positiv ist. Über die Kleiner-Relation können wir alle weiteren Ordnungsrelationen definieren:

Definition (Weitere Ordnungsrelationen auf Grundlage der Kleiner-Relation)

Für die reellen Zahlen sind außerdem die Relationen $\geq$ , $\leq$ und $>$ über folgende Äquivalenzen definiert:

$x\leq y:\iff x<y\lor x=y$
$x\geq y:\iff y<x\lor x=y$
$x>y:\iff y<x$

Das Vollständigkeitsaxiom

Das Vollständigkeitsaxiom beschreibt den Übergang beziehungsweise den markanten Unterschied zwischen den rationalen und den reellen Zahlen. Während die obigen beiden Axiomengruppen noch durch die Menge der rationalen Zahlen erfüllt werden, gilt dies nicht mehr für das Vollständigkeitsaxiom. Der Grund dafür ist, dass es im Zahlenbereich der rationalen Zahlen „Lücken“ wie ${\sqrt {2}}$ gibt. Diese Lücken können zwar beliebig durch rationale Zahlen approximiert werden, sind aber selbst keine rationalen Zahlen mehr. Bei den reellen Zahlen gibt es solche Lücken nicht, weil das Vollständigkeitsaxiom die Existenz von Lücken ausschließt. Wenn man irgendetwas beliebig durch reelle Zahlen annähern kann, so existiert dieses „irgendetwas“ und ist wieder eine reelle Zahl.

Eine Approximation einer Zahl kann durch eine Intervallschachtelung realisiert werden. Diese ist eine Folge von Intervallen, die ineinander liegen und deren Länge gegen Null streben:

Eine Intervallschachtelung dient als Approximation einer reellen Zahl. Jedes Intervall schränkt den Bereich ein, in dem die zu approximierende Zahl liegt und im Laufe der Intervallschachtelung wird dieser Bereich immer kleiner. Das Intervallschachtelungsprinzip garantiert, dass durch jede Intervallschachtelung mindestens eine Zahl approximiert wird:

Definition (Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip)

Zu jeder allgemeinen Intervallschachtelung $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ ... existiert eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt und damit von allen Intervallen approximiert wird.

Dieses Vollständigkeitsaxiom beschreibt, dass die Menge der reellen Zahlen keine „Lücken“ besitzt. Um zu beschreiben, dass die reellen Zahlen die kleinstmögliche Erweiterung sind, um die Lücken der rationalen Zahlen zu füllen, müssen wir das Intervallschachtelungsprinzip um ein weiteres Axiom ergänzen. Hierzu müssen wir ausschließen, dass es unendlich kleine bzw. unendlich großen Zahlen gibt. Eine positive Zahl $y$ wäre im Vergleich zu einer positiven Zahl $x$ unendlich groß, wenn $y$ größer als alle Vielfachen von $x$ wäre, wenn also keine der Vielfachen $x,2x,3x,4x,\ldots$ jemals über $y$ hinauswächst. Für alle natürlichen Zahlen $n$ wäre also $nx<y$ . Dies wollen wir nun ausschließen. Für je zwei positive Zahlen $x$ und $y$ soll es also mindestens eine natürliche Zahl $n$ mit $nx\geq y$ geben. Genau diese Eigenschaft beschreibt das archimedische Axiom:

Definition (Das Archimedische Axiom)

Für alle reellen Zahlen $x,y>0$ gibt es eine natürliche Zahl $n$ , so dass $nx\geq y$ ist. Mit den Abkürzungen " $\forall$ " für "für alle" und " $\exists$ " für "es gibt" liest sich dies als

\forall x>0,y>0\,\exists n\in \mathbb {N} :nx\geq y

Mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms kann man zeigen, dass reelle Zahlen beliebig durch rationale Zahlen angenähert werden können. Diese Eigenschaft ist wesentlich, denn sie ermöglicht das Rechnen mit rationalen Zahlen anstelle von reellen Zahlen. Beispielsweise werden Computerberechnungen in der Regel nur mit rationalen Zahlen durchgeführt^[2]. Solche Rechnungen sind zwar fehleranfällig, ihre Fehler können aber in der Regel beliebig klein gemacht werden.

Die Zahlengerade

Im vorherigen Abschnitt zu den reellen Zahlen habe ich dir erklärt, dass wir im Folgenden die reellen Zahlen axiomatisch einführen wollen. Um die gewählten Axiome auch nachvollziehen zu können, ist es sehr hilfreich, eine intuitive Idee der reellen Zahlen zu haben. Damit wir auch dieselbe intuitive Idee besitzen, möchte ich an dieser Stelle die Vorstellung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden kurz wiederholen.

Reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden

Zunächst starten wir mit einer Geraden:

unbeschriftete Zahlengerade

Auf dieser Geraden legen wir zwei Punkte für die Zahlen „0“ und „1“ fest, wobei die Eins rechts neben der Null liegen soll:

Zahlengerade mit eingezeichneten Zahlen 0 und 1

Sobald wir diese zwei Zahlen 0 und 1 auf der Zahlengeraden eingezeichnet haben, ergeben sich automatisch auch die Positionen aller anderen Zahlen. Die negativen reellen Zahlen werden dabei links und die positiven reellen Zahlen rechts von der Null eingezeichnet. Der Abstand von jeder einzelnen Zahl zur Null soll gleich dem Betrag dieser Zahl sein. Der Abstand der bereits eingetragenen Zahlen 0 und 1 ist dabei die Einheitslänge, womit wir alle weiteren Abstände auf der Zahlengeraden bestimmen können. Am Ende haben wir folgendes Bild:

Zahlengerade mit eingezeichneten Zahlen von -3 bis +3

Ordnung der reellen Zahlen

Durch die Identifizierung der reellen Zahlen mit Punkten auf der Zahlengeraden ergibt sich auf natürliche Art und Weise auch eine Ordnung. Für zwei reelle Zahlen $x$ und $y$ definiert man $x<y$ bzw. $y>x$ , wenn $y$ rechts von $x$ auf der Zahlengeraden liegt:

Anhand dieser Vorstellung der Ordnung reeller Zahlen sind viele Eigenschaften der Ordnungsrelation direkt nachvollziehbar. So kann man sich klar machen, dass wenn $x<y$ und $y<z$ ist, automatisch auch $x<z$ ist. Wenn also $x$ links von $y$ liegt und $y$ selbst wieder links von $z$ liegt, dann liegt auch $x$ links von $z$ .

Rechnen auf der Zahlengeraden

Um unsere intuitive Idee der Zahlengeraden zu vervollständigen, müssen wir noch klären, wie man mit reellen Zahlen auf der Zahlengeraden rechnen kann. Wir müssen also definieren, wie man Zahlen auf der Zahlengeraden addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.

Die Addition

Die Addition reeller Zahlen als Vektoraddition

Um Zahlen auf der Zahlengeraden zu addieren, identifiziert man jede einzelne Zahl mit einem Vektor, der in der Null beginnt und bei der jeweiligen Zahl endet. Ein Vektor ist dabei nichts anderes als ein Pfeil, also eine gerichtete Strecke, mit klar definiertem Anfangs- und Endpunkt. Für das Beispiel der Zahlen -2 und 3 sehen die entsprechenden Vektoren so aus:

Um nun 3 plus -2 zu rechnen, nimmt man den Anfangspunkt des Vektors -2 (welcher vorher bei 0 lag) und legt ihn auf den Endpunkt des Vektors 3. Der so verschobene Endpunkt des Vektors -2 zeigt dann auf das Ergebnis der Addition $3+(-2)$ , also 1:

Analog erhält man 3 als die Summe von 1 und 2:

Zuordnung zwischen Vektoren und Punkten auf der Zahlengeraden

Beachte, dass wir dabei das Modell der reellen Zahlen gewechselt haben: Die einzelnen Vektoren, die wir als Zwischenschritt benutzt haben, sind nämlich keine Punkte auf der Zahlengeraden mehr, sondern Pfeile, die in der Null beginnen und irgendwo auf der Zahlengeraden enden (also ganz andere Objekte). Da es aber zu jedem Punkt auf der Zahlengeraden genau einen Vektor gibt, der von der 0 zu diesem Punkt verläuft, und weil jeder Vektor eindeutig durch seinen Endpunkt beschrieben wird, gibt es eine 1-zu-1-Zurordnung zwischen Punkten auf der Zahlengeraden und ihren jeweiligen Vektoren. Somit können wir jederzeit zwischen den beiden Modellen hin- und herwechseln. Das zweite Modell entspricht im Übrigen der Vorstellung der reellen Zahlen als eindimensionaler Vektorraum, den du vielleicht schon aus der linearen Algebra kennst.

Die Addition reeller Zahlen als Translation

In der obigen Methode haben wir beide Summanden als Vektoren aufgefasst. Es ist jedoch auch möglich, sich weiterhin einen Summanden als Punkt auf der Zahlengeraden vorzustellen und nur einen Summanden als Vektor aufzufassen. Hierzu nimmt man für die Summe $a+x$ den Vektor $a$ und trägt diesen beginnend beim Punkt $x$ auf der Zahlengeraden ab. Der Endpunkt von $a$ zeigt dann auf das Ergebnis von $a+x$ :

Hier entspricht die Addition einer Verschiebung des Punktes $x$ auf der Zahlengeraden um den Vektor $a$ und ist damit eine Translation. Translation ist dabei der mathematische Begriff für eine (Parallell-)Verschiebung.

Die Subtraktion

Die Subtraktion funktioniert wie die Addition, nur dass man die Richtung des Vektors ändern muss, den wir subtrahieren wollen. Wenn wir beispielsweise $3-2$ rechnen wollen, so kehren wir die Richtung des Vektors 2 um und erhalten so den Vektor -2. Am Ende wird dann $3+(-2)$ mit der obigen Methode berechnet. Diese Art und Weise der Subtraktion werden wir später auch bei der axiomatischen Einführung der reellen Zahlen nutzen.

Die Multiplikation

Dem Produkt $a\cdot b$ entspricht der Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$

Um zu klären, was die Multiplikation ist, könnten wir definieren, dass $a\cdot b$ gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist. Diese Vorgehensweise hat jedoch folgende Nachteile:

Für uns sind Zahlen Punkte auf der Zahlengeraden. Jedoch ist ein Flächeninhalt kein solcher Punkt und wir müssten zunächst klären, wie wir einem Flächeninhalt eines Rechtecks einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnen. Anders als bei den Vektoren im Abschnitt zur Addition ist dies nicht trivial.
Da $a\cdot b$ auch negativ sein kann, müssten wir zusätzlich noch definieren, welche Flächen als negativ anzusehen sind. Hier stellt sich im Gegensatz zur Zahlengeraden die Frage: „Was ist eine negative Fläche?“, was wiederum nicht aus dem Stegreif zu beantworten ist. Für Punkte auf der Zahlengeraden gibt es demgegenüber eine einfache geometrische Bedeutung der Negativität: Ein Punkt ist genau dann negativ, wenn er links von der Null liegt.

Deswegen folgen wir dem Vorschlag von René Descartes, der 1637 in seinem Werk „Géométrie“ die Multiplikation zum ersten Mal so einführte, dass das Ergebnis eines Produktes wieder eine Strecke ist^[3]. Hierzu will ich eine etwas abgewandelte Methode benutzen, und zwar folgende Vorstellung einer Multiplikation durch eine Streckung:

Stell dir vor, wir wollen das Produkt $2\cdot 1{\tfrac {1}{2}}$ berechnen. Hierzu zeichnest du zunächst zwei parallele Zahlengeraden. Auf der einen Zahlengeraden zeichnest du den Faktor 2 und auf der anderen den Faktor $1{\tfrac {1}{2}}$ ein. Die beiden Zahlengeraden verbindest du durch eine vertikale Gerade, welche durch die Null geht:

Nun zeichnest du eine Gerade ein, welche durch den eingezeichneten Punkt 2 auf der einen Zahlengeraden und dem Punkt 1 auf der anderen Zahlengeraden geht:

Die so eingezeichnete Gerade schneidet irgendwo die vertikale Gerade. Diesen Punkt verbindet man mit dem zweiten Faktor $1{\tfrac {1}{2}}$ zu einer zweiten Hilfsgeraden. Der Punkt, in dem diese Hilfsgerade die andere Zahlengerade schneidet, entspricht dem Ergebnis des Produkts $2\cdot 1{\tfrac {1}{2}}$ . In diesem Beispiel ist das Ergebnis 3:

Das Ganze funktioniert genauso, wenn einer oder beide Faktoren negativ sind:

Eine Besonderheit gibt es aber: Wenn der erste Faktor 1 ist, ist nämlich die erste Hilfsgerade parallel zur vertikalen Geraden durch die Nullpunkte und schneidet dementsprechend diese Gerade nie. In diesem Fall muss auch die zweite Hilfsgerade parallel zur vertikalen Geraden eingezeichnet werden. Der zweite Faktor ändert sich dann durch die Multiplikation nicht:

Obige Methode entspricht tatsächlich der Vorstellung der Multiplikation durch eine Streckung. Wenn man nämlich die 1 auf $a$ streckt, dann entspricht $a\cdot b$ der Streckung von $b$ um denselben Streckungsfaktor. Dass am Ende die obige Methode auch das richtige Ergebnis liefert, lässt sich durch den Strahlensatz nachvollziehen.

Die Division

Die Division kann ähnlich zur Multiplikation durchgeführt werden. Anders als bei der Multiplikation werden hier beide Zahlen, also sowohl Dividend als auch Divisor, auf derselben Zahlengeraden eingetragen. Für das Beispiel ${\tfrac {3}{2}}$ sieht die Zahlengeraden so aus:

Nun verbindet man den Divisor, hier also 2, mit der Zahl 1 der anderen Zahlengeraden zu einer Hilfsgeraden:

Die eben eingezeichnete Hilfsgerade schneidet die vertikale Gerade in einem Punkt, welchen man mit dem Dividenden, hier 3, zu einer zweiten Hilfsgeraden verbindet:

Der Schnittpunkt der zweiten Hilfsgeraden mit der zweiten Zahlengeraden ist dann das Ergebnis der Division. Wir erhalten so das Ergebnis ${\tfrac {3}{2}}=1,5$ . Auch diese Methode lässt sich mit dem Strahlensatz nachvollziehen.

Dem Quotienten ${\tfrac {a}{b}}$ entspricht also die Strecke, die man erhält, wenn man $a$ um denselben Streckungsfaktor streckt, der notwendig ist, um $b$ auf $1$ zu strecken. Hier sieht man auch, dass eine Division mit 0 nicht möglich ist, weil man 0 nicht auf 1 strecken kann (jede Streckung von 0 bleibt nämlich 0).

Vollständigkeit der Zahlengeraden

Die Zahlengerade ist vollständig in dem Sinn, dass sie keine Lücken enthält. So muss es auf der Zahlengeraden einen Punkt für ${\sqrt {2}}$ geben, weil man ${\sqrt {2}}$ durch folgende Konstruktion finden kann:

Diese Eigenschaft der Zahlengeraden ist noch recht schwammig. Wie lässt sich beispielsweise mathematisch definieren, was „Lücken“ sind und dass sie nicht auf der Zahlengeraden existieren? Da wir in diesem Kapitel aber nur eine intuitive Idee der reellen Zahlen entwickeln wollen, ist es kein Problem, wenn wir hierzu intuitiv verständliche Eigenschaften heranziehen. Später im Abschnitt zur Vollständigkeit reeller Zahlen werden wir klären, wie man diese intuitive Idee der Lückenfreiheit in die strikte Sprache der Mathematik übersetzt.

Körperaxiome

Was würdest du auf folgende Frage antworten: „Was sind die reellen Zahlen?“ Manche meinen: „Reelle Zahlen sind das, mit dem man rechnen kann“. Diese Antwort kommt der tatsächlichen Definition reeller Zahlen durchaus nah. Sie muss aber noch konkretisiert werden. Was bedeutet es, dass man „mit Zahlen rechnen kann“? In diesem Kapitel erfährst du die Antwort darauf...

Einleitung

Wir beginnen die Definition der reellen Zahlen mit den sogenannten Körperaxiomen. Diese bilden neben den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die Basis, um die reellen Zahlen zu charakterisieren. Zur Wiederholung: Axiome sind Aussagen, die ohne Beweis als wahr angenommen werden. Die Körperaxiome beschreiben damit Eigenschaften der reellen Zahlen, die wir nicht hinterfragen. Es sind Eigenschaften, die wir als charakteristisch für die reellen Zahlen ansehen. Die Körperaxiome (und die anderen Axiome der reellen Zahlen) entsprechen damit folgender Aussagenstruktur

Reelle Zahlen sind Objekte, die folgende Eigenschaften besitzen: …

Dabei definieren die Körperaxiome die vier Grundrechenarten der reellen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. In den Körperaxiomen selbst wird die Addition und die Multiplikation charakterisiert. Die Subtraktion und die Division werden anschließend, wie du noch sehen wirst, über gesonderte Definitionen eingeführt.

Die Körperaxiome

Die Körperaxiome lauten: Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei (zweistellige) Verknüpfungen definiert:

eine Verknüpfung der Addition: $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$
eine Verknüpfung der Multiplikation: $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

Die Schreibweise $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ bezeichnet eine zweistellige Operation. Das bedeutet beispielsweise in der Schreibweise $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , dass die Addition zwei reelle Zahlen als Argumente annimmt und ihnen eine reelle Zahl als Ergebnis zuordnet. Analog macht auch die Multiplikation aus zwei reellen Zahlen als Argumente eine reelle Zahl als Ergebnis. Weiterhin fordern die Körperaxiome, dass diese Verknüpfungen folgende Eigenschaften besitzen sollen:

Definition (Körperaxiome)

Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei Operationen $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definiert. Diese erfüllen folgende Eigenschaften:

Eigenschaften der Addition:
- Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x+(y+z)=(x+y)+z$ .
- Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x+y=y+x$ .
- Existenz der Null: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0\in \mathbb {R}$ , für die $0+x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
- Existenz des Negativen: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $-x$ mit $x+(-x)=0$ .
Eigenschaften der Multiplikation:
- Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$ .
- Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x\cdot y=y\cdot x$ .
- Existenz der Eins: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1\in \mathbb {R}$ mit $1\neq 0$ , für die $1\cdot x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
- Existenz des Inversen: Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $x\cdot x^{-1}=1$ .
Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ .

Definitionen im Zusammenhang mit den Körperaxiomen

Die Körperaxiome nehmen noch keinen Bezug auf die Subtraktion und Division. Diese müssen erst auf Grundlage der Körperaxiome definiert werden:

Definition (Subtraktion und Division)

Die Subtraktion wird auf eine Addition und die Division auf eine Multiplikation zurückgeführt:

{\begin{aligned}-&:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &:(x,y)\mapsto x-y&:=x+(-y)\\\div &:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} &:(x,y)\mapsto x\div y&:=x\cdot y^{-1}\\\end{aligned}}

Die Subtraktion ist damit die Addition des Negativen einer Zahl und die Division die Multiplikation mit dem Inversen einer Zahl.

So entpuppt sich nach unserer Definition die Subtraktion als eine Addition und die Division als eine Multiplikation. Die Eigenschaften der Division und der Subtraktion werden damit auch durch die Körperaxiome beschrieben. In der Mathematik sagt man dementsprechend zu Differenzen oft Summen und zu Quotienten oft Produkte.

Wie du vielleicht bereits erkannt hast, ist die obige Definition nur dann sinnvoll, wenn das Negative und das Inverse einer reellen Zahl eindeutig bestimmt sind. Wenn zum Beispiel eine Zahl

y

zwei Negative

z_{1}

und

z_{2}

hätte, so wäre die Differenz

x-y

nicht eindeutig. Es könnte nämlich

x+z_{1}

oder

x+z_{2}

gemeint sein. Zwar wissen wir bereits aus den Körperaxiomen, dass es für jede reelle Zahl ein Negatives und für jede reelle Zahl ungleich Null ein Inverses gibt, jedoch wissen wir nicht, ob dieses Negative/Inverse eindeutig bestimmt ist. Kann es reelle Zahlen mit mehr als einem Negativen/Inversen geben? Nein, kann es nicht. Es lässt sich mit den obigen Körperaxiomen zeigen, dass das Negative und das Inverse eindeutig bestimmt sind. Dies werden wir später zeigen. Somit sind die obigen Definitionen zur Subtraktion beziehungsweise zur Division gerechtfertigt.

Definition weiterer Begriffe

Im Folgenden verwenden wir die aus der Schule bekannten Bezeichnungen:

\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Summand}}+\underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Summand}}} ^{\text{Summe}}

\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Minuend}}-\underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Subtrahend}}} ^{\text{Differenz}}

\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Faktor}}\cdot \underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Faktor}}} ^{\text{Produkt}}

\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Dividend}}\div \underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Divisor}}} ^{\text{Quotient}}

Weiterhin nennen wir eine Struktur, die alle Körperaxiome erfüllt, einen Körper:

Definition (Körper)

Eine Menge, die eine Addition und eine Multiplikation mit den obigen Eigenschaften besitzt, nennt man einen „Körper“.

Somit ist $\mathbb {R}$ mit der Addition und Multiplikation ein Körper. Es gibt aber auch andere Körper wie beispielsweise die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ . Für das Studium der reellen Analysis ist der Körperbegriff nur insofern wichtig, als dass du wissen musst, dass die reellen Zahlen alle Körperaxiome erfüllen und $\mathbb {R}$ demnach ein Körper ist. Der Körperbegriff als solcher wird in der Algebra näher untersucht.

Verständnisfrage: Kann es für die einelementige Menge $\{0\}$ eine geeignete Addition und Multiplikation geben, so dass diese Menge ein Körper ist?

Nein, denn laut Körperaxiom "Existenz der Eins" muss $1\neq 0$ sein. Jeder Körper muss also mindestens zwei Elemente, nämlich $0$ und $1$ , besitzen. Somit kann $\{0\}$ als einelementige Menge kein Körper sein.

Anmerkungen zu den Körperaxiomen

Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation ( $x+(y+z)=(x+y)+z$ bzw. $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$ ): Dank des Assoziativgesetzes ist die Reihenfolge der Ausführung einer endlichen Addition/Multiplikation egal. Dementsprechend können Klammern in endlichen Summen/Produkten weggelassen werden. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation ( $x+y=y+x$ bzw. $x\cdot y=y\cdot x$ ): Dank dieses Axioms ist die Reihenfolge der Terme in endlichen Summen/Produkten egal. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
Existenz des neutralen Elements der Addition und Multiplikation ( $0+x=x$ und $1\cdot x=x$ ): Hier wird explizit nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit, der Null beziehungsweise Eins definiert. Die Eindeutigkeit lässt sich aus den Körperaxiomen herleiten und damit ist es unnötig, diese Eigenschaft zu fordern. Da laut der Axiome die Zahl Eins ungleich Null ist, muss ein Körper mindestens zwei Elemente besitzen (in der Algebra wirst du lernen, dass es einen Körper mit genau zwei Elementen gibt).
Existenz des Negativen und Inversen ( $x+(-x)=0$ und $x\cdot x^{-1}=1$ ): Auch hier wird erst einmal nur die Existenz des Negativen und Inversen gefordert. Wir werden aber später die Eindeutigkeit des Negativen und Inversen beweisen.
Distributivgesetz ( $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ ): Dieses Axiom stellt eine Verbindung zwischen Addition und Multiplikation her und ist deshalb ziemlich hilfreich. Es ist auch das einzige Axiom, das einen solchen Zusammenhang herstellt. Beachte, dass $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ nicht definiert wurde und deswegen noch bewiesen werden muss.

Nachvollziehbarkeit der Körperaxiome

Visualisierung des Distributivgesetzes für positive reelle Zahlen

Eines der Ziele, die ich im vorherigen Kapitel für die Axiome der reellen Zahlen formuliert habe, ist ihre Nachvollziehbarkeit. Deswegen sollten wir jetzt schauen, ob die gewählten Axiome auch wirklich unserer intuitiven Idee der reellen Zahlen entsprechen.

Man erkennt, dass die gewählten Körperaxiome aus der Schule oder aus dem Alltag bekannt sind. Einige der Axiome können wir auch mit dem Modell der reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden verstehen. So trifft es beispielsweise zu, dass die Addition mit Null auf der Zahlengeraden den zweiten Summanden nicht ändert. Auch die Assoziativität der Addition lässt sich mit dem Zahlengeradenmodell einfach verstehen (die grünen Vektoren werden hierbei zuerst miteinander addiert):

Leider können wir nicht alle Körperaxiome mit der Zahlengeraden erklären. So ist beispielsweise die Assoziativität der Multiplikation schwierig darzustellen. Jedoch entsprechen alle Körperaxiome unserer Erfahrung im Umgang mit reellen Zahlen.

Folgerungen der Körperaxiome

Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen der Körperaxiome

Potenzen reeller Zahlen

Aus der Schule kennst du Potenzen wie $5^{3}$ als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist $5^{3}$ die abkürzende Schreibweise für $5\cdot 5\cdot 5$ . Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

Intuitive Definition der Potenz

Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

Definition (intuitive Definition der Potenz)

Die Potenz $x^{k}$ ist definiert über

x^{k}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{k{\text{-mal}}}

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

Wir wissen nicht, was $x^{0}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{0{\text{-mal}}}$ sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche $x^{k}$ , für die $k$ keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke $\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{-1{\text{-mal}}}$ oder $\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{{\tfrac {1}{2}}{\text{-mal}}}$ nicht sinnvoll.
Der Ausdruck $\underbrace {\ldots } _{k{\text{-mal}}}$ ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten

Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

Definition (rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten)

Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle $x\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$ definiert:

{\begin{aligned}x^{0}&:=1\\x^{k+1}&:=x\cdot x^{k}\end{aligned}}

Insbesondere definieren wir $0^{0}=1$ .

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

x^{k+1}=x\cdot x^{k}

wird Rekursionsschritt genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

5^{3}=5\cdot 5^{2}

Wenn wir $5^{2}$ ausgerechnet haben, können wir $5^{3}$ nach obiger Gleichung ausrechnen. $5^{2}$ selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus $5^{1}$ berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz $5^{0}$ , die man wegen der Formel

x^{0}=1

gleich eins setzen kann. Die Formel $x^{0}=1$ wird Rekursionsanfang genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

{\begin{array}{rll}&5^{3}&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{3}=5\cdot 5^{2}}\right.\\=\ &5\cdot 5^{2}&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{2}=5\cdot 5^{1}}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot 5^{1})&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsschritt: }}5^{1}=5\cdot 5^{0}}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot (5\cdot 5^{0}))&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Rekursionsanfang: }}5^{0}=1}\right.\\=\ &5\cdot (5\cdot (5\cdot 1))\\=\ &5\cdot (5\cdot 5)\\=\ &5\cdot 25\\=\ &125\end{array}}

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

Wir wissen, was $x^{0}$ ist.
Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn $k$ keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

Warum ist $x^{0}=1$ definiert?

Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch $5^{1}=5$ als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann $5^{0}$ undefiniert gewesen, aber die Gleichung $5^{1}=5$ lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz $5^{3}$ könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang $5^{1}=5$ berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle $a,b\in \mathbb {R}$ und insbesondere auch für $b=0$ erfüllt sein. Es soll also gelten:

x^{a+0}=x^{a}\cdot x^{0}

Gleichzeitig ist $a+0=a$ und deswegen

x^{a}=x^{a+0}=x^{a}\cdot x^{0}

Damit diese Gleichung für alle $x>0$ und $a\in \mathbb {R}$ gelten kann, muss $x^{0}=1$ sein. Die Tatsache $x^{0}=1$ folgt also aus der Gleichung

x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

Hinweis

Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für $0^{0}$ . In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) $0^{0}=1$ gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der binomische Lehrsatz und die Geometrische Summenformel für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen $0^{0}=0$ , da $0^{a}=0$ für alle $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt $0^{0}$ auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Wikipedia-Artikel „Null hoch null“.

Das Prinzip der Rekursion

Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

Rekursionsschritt: Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
Rekursionsanfang: Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

Verständnisfrage: Definiere das Produkt $k\cdot x=\underbrace {x+x+\ldots +x} _{k{\text{-mal}}}$ mit $x\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$ rekursiv.

Folgende zwei Formeln definieren das Produkt $k\cdot x$ rekursiv:

{\begin{aligned}0\cdot x&=0\\(k+1)\cdot x&=x+k\cdot x\end{aligned}}

Rechenregeln für Potenzen

Übersicht

Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für $x\in \mathbb {R}$ und $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ zurückgegriffen:

x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

$(x^{k})^{n}=x^{kn}$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und $k,n\in \mathbb {N} _{0}$
$(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$ für alle $x,y\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$

Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $x\in \mathbb {R}$ und seien $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ . Dann gilt

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}

Wir betrachten das Produkt $x^{m}\cdot x^{n}$ zweier Potenzen $x^{m}$ und $x^{n}$ zur selben Basis $x\in \mathbb {R}$ mit irgendwelchen Exponenten $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ . Anschaulich ist

x^{m}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}

und

x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}

Also ist

x^{m}\cdot x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}\cdot \underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}

Wir multiplizieren das Produkt von $m$ vielen $x$ mit dem Produkt von $n$ vielen $x$ . Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt $m+n$ vielen $x$ :

\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{m{\text{-mal}}}\cdot \underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{(m+n){\text{-mal}}}

Das Produkt von $m+n$ vielen $x$ ist genau die Potenz $x^{m+n}$ :

\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} _{(m+n){\text{-mal}}}=x^{m+n}

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit $\underbrace {\ldots }$ verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn $m=0$ oder $n=0$ ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

Zusammenfassung des Beweises (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels Vollständiger Induktion an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir $n$ , und lassen die andere Variable, also $m$ , fest.

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $m\in \mathbb {N} _{0}$ fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $n\in \mathbb {N} _{0}$ :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}

1. Induktionsanfang:

x^{m}\cdot x^{0}=x^{m}\cdot 1=x^{m}=x^{m+0}

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}

2b. Induktionsbehauptung:

x^{m}\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}

2c. Beweis des Induktionsschritts:

{\begin{aligned}&x^{m}\cdot x^{n+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{n+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{m}\cdot (x\cdot x^{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot (x^{m}\cdot x^{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot x^{m+n}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{(m+n)+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{(m+n)+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz in }}\mathbb {N} _{0}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{m+(n+1)}\end{aligned}}

Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $x\in \mathbb {R}$ und seien $k,n\in \mathbb {N} _{0}$ . Dann gilt

(x^{k})^{n}=x^{kn}

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $k\in \mathbb {N} _{0}$ fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $n\in \mathbb {N} _{0}$ :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

(x^{k})^{n}=x^{kn}

1. Induktionsanfang:

(x^{k})^{0}=1=x^{0}=x^{k\cdot 0}

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

(x^{k})^{n}=x^{kn}

2b. Induktionsbehauptung:

(x^{k})^{n+1}=x^{k(n+1)}

2c. Beweis des Induktionsschritts:

{\begin{aligned}&(x^{k})^{n+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}(x^{k})^{n+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k}\cdot (x^{k})^{n}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}(x^{k})^{n}=x^{kn}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k}\cdot x^{kn}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis}}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k+kn}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {N} _{0}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k(n+1)}\end{aligned}}

Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien $x,y\in \mathbb {R}$ und sei $k\in \mathbb {N} _{0}$ . Dann gilt

(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über $k\in \mathbb {N} _{0}$ :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $k\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}

1. Induktionsanfang:

(x\cdot y)^{0}=1=1\cdot 1=x^{0}\cdot y^{0}

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}

2b. Induktionsbehauptung:

(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}

2c. Beweis des Induktionsschritts:

{\begin{aligned}&(x\cdot y)^{k+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}(x\cdot y)^{k+1}\right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)^{k}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung }}(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}\right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot y)\cdot (x^{k}\cdot y^{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot x^{k})\cdot (y\cdot y^{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}x^{k+1}{\text{ und }}y^{k+1}\right.}\\[0.3em]=\ &x^{k+1}\cdot y^{k+1}\end{aligned}}

Potenzen mit negativen Exponenten

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ wollen wir die Definition der Potenz $x^{k}$ auf ganzzahlige Exponenten $k\in \mathbb {Z}$ erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten $k$ definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel $5^{-3}$ das Produkt von „ $-3$ vielen“ $5$ en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht $-5^{3}=-125$ ? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber $5=5^{1}=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot 5^{4}=-125\cdot 625$ . Es macht also keinen Sinn, $5^{-3}=-5^{3}$ zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass $x^{0}=1$ für jede reelle Zahl $x$ gilt und dass $x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$ für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ . Zur Verallgemeinerung auf $a,b\in \mathbb {Z}$ betrachten wir zunächst $a=1$ , $b=-1$ und $x\neq 0$ . Wir erhalten $1=x^{0}=x^{1+(-1)}=x\cdot x^{-1}$ . Da wir $x\neq 0$ fordern können wir die Gleichung umstellen zu ${\frac {1}{x}}=x^{-1}$ . Intuitiv ist klar, dass wir um $x^{-1}$ zu erhalten durch $x$ teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines $k\in \mathbb {N}$ anwenden. Mit der Forderung $x\neq 0$ ergibt sich aus $1=x^{0}=x^{k+(-k)}=x^{k}\cdot x^{-k}$ die folgende sinnvolle Definition:

Definition (Potenz mit ganzzahligem Exponenten)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und $k\in \mathbb {Z}$ . Für $k\geq 0$ ist $x^{k}$ bereits definiert. Für $k<0$ legen wir fest:

x^{k}:={\frac {1}{x^{-k}}}

Beachte, dass in dieser Definition $x^{-k}$ bereits definiert ist, da $-k>0$ für $k<0$ gilt. Und wegen $x\neq 0$ ist auch $x^{-k}\neq 0$ . Wir teilen also nicht durch $0$ .

Hinweis

Man könnte sich fragen, ob eine sinnvolle Definition für " $0^{-k}$ " möglich ist. Da wir in der Herleitung obiger Definition sowohl durch $x$ teilen als auch $x^{0}=1$ fordern, ist dieser Weg ausgeschlossen. Außerdem ist dieser Fall von geringem praktischen Interesse, da wir ja über $0^{k}=0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ verfügen. Somit kann " $0^{-k}$ " in $\mathbb {R}$ getrost undefiniert bleiben. Im erweiterten Zahlenraum ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ wäre $0^{k}=\infty$ für alle $k<0$ sinnvoll.

Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen

Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und seien $m,n\in \mathbb {Z}$ . Dann gilt

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Unsere Definition von $x^{m}$ , $x^{n}$ und $x^{m+n}$ hängt davon ab, ob die Exponenten $m$ , $n$ und $m+n$ negativ sind oder nicht. Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1: $m\geq 0$ und $n\geq 0$

Für $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2: $m\geq 0$ , $n<0$ und $m+n\geq 0$

Sei $n=-a$ und $m+n=b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ . Somit ist $m=-n+m+n=a+b$ . Nach Definition ist $x^{n}={\frac {1}{x^{a}}}$ . Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}

gilt. Es folgt

{\frac {1}{x^{n}}}\cdot x^{m+n}=x^{m}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{n}$ , so erhalten wir die Behauptung.

Fall 3: $m\geq 0$ , $n<0$ und $m+n<0$

Sei $m=a$ und $m+n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ . Somit ist $n=-m+m+n=-(a+b)$ . Nach Definition ist $x^{n}={\frac {1}{x^{a+b}}}$ und $x^{m+n}={\frac {1}{x^{b}}}$ . Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}

gilt. Es folgt

x^{m}\cdot {\frac {1}{x^{m+n}}}={\frac {1}{x^{n}}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{m+n}\cdot x^{n}$ , so erhalten wir die Behauptung.

Fall 4: $m<0$ , $n\geq 0$ und $m+n\geq 0$

Da Addition in $\mathbb {Z}$ und Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ sind, gilt $x^{m}\cdot x^{n}=x^{n}\cdot x^{m}$ sowie $x^{m+n}=x^{n+m}$ . Indem wir die Variablen $m$ und $n$ vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.

Fall 5: $m<0$ , $n\geq 0$ und $m+n<0$

Da Addition in $\mathbb {Z}$ und Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ sind, gilt $x^{m}\cdot x^{n}=x^{n}\cdot x^{m}$ sowie $x^{m+n}=x^{n+m}$ . Indem wir die Variablen $m$ und $n$ vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.

Fall 6: $m<0$ und $n<0$

Sei $m=-a$ und $n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ . Somit ist $m+n=-(a+b)$ . Nach Definition ist $x^{m}={\frac {1}{x^{a}}}$ , $x^{n}={\frac {1}{x^{b}}}$ und $x^{m+n}={\frac {1}{x^{a+b}}}$ . Für $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass

x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}

gilt. Es folgt

{\frac {1}{x^{m}}}\cdot {\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{x^{m+n}}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $x^{m}\cdot x^{n}\cdot x^{m+n}$ , so erhalten wir die Behauptung.

Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und seien $k,n\in \mathbb {Z}$ . Dann gilt

(x^{k})^{n}=x^{kn}

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob $k$ und $n$ jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1: $k\geq 0$ und $n\geq 0$

Für $k,n\in \mathbb {N} _{0}$ wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2: $k<0$ und $n\geq 0$

Sei $k=-a$ mit $a\in \mathbb {N} _{0}$ . Nach Definition ist $x^{k}={\frac {1}{x^{a}}}$ und $x^{kn}={\frac {1}{x^{an}}}$ . Wir wissen bereits, dass $(x^{a})^{n}=x^{an}$ gilt. Somit folgt

1=\left({\frac {1}{x^{a}}}\cdot x^{a}\right)^{n}=\left({\frac {1}{x^{a}}}\right)^{n}\cdot (x^{a})^{n}=(x^{k})^{n}\cdot x^{an}=(x^{k})^{n}\cdot {\frac {1}{x^{kn}}}

Also gilt wie gewünscht $(x^{k})^{n}=x^{kn}$ .

Fall 3: $k\geq 0$ und $n<0$

Sei $n=-b$ mit $b\in \mathbb {N} _{0}$ . Nach Definition ist $(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}$ und $x^{kn}={\frac {1}{x^{kb}}}$ . Wir wissen bereits, dass $(x^{k})^{b}=x^{kb}$ gilt. Somit folgt wie gewünscht

(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}={\frac {1}{x^{kb}}}=x^{kn}

Fall 4: $k<0$ und $n<0$

Seien $k=-a$ und $n=-b$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ . Nach Definition ist $x^{k}={\frac {1}{x^{a}}}$ und $(x^{k})^{n}={\frac {1}{(x^{k})^{b}}}$ . Wir wissen bereits, dass $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ gilt. Somit folgt

1=\left({\frac {1}{x^{a}}}\cdot x^{a}\right)^{b}=\left({\frac {1}{x^{a}}}\right)^{b}\cdot (x^{a})^{b}=(x^{k})^{b}\cdot x^{ab}={\frac {1}{(x^{k})^{n}}}\cdot x^{kn}

Also gilt wie gewünscht $(x^{k})^{n}=x^{kn}$ .

Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien $x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und sei $k\in \mathbb {Z}$ . Dann gilt

(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Unsere Definition der $k$ -ten Potenz hängt davon ab, ob $k$ negativ ist oder nicht. Für $k\geq 0$ wurde der Beweis der Gleichung $(x\cdot y)^{k}=x^{k}\cdot y^{k}$ bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für $k<0$ .

Sei also $k=-a$ mit $a\in \mathbb {N} _{0}$ . Nach Definition ist $(x\cdot y)^{k}={\tfrac {1}{(x\cdot y)^{a}}}$ sowie $x^{k}={\tfrac {1}{x^{a}}}$ und $y^{k}={\tfrac {1}{y^{a}}}$ . Für $a\in \mathbb {N} _{0}$ haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

(x\cdot y)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}

Es folgt

{\frac {1}{(x\cdot y)^{k}}}={\frac {1}{x^{k}}}\cdot {\frac {1}{y^{k}}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $(x\cdot y)^{k}\cdot x^{k}\cdot y^{k}$ , so erhalten wir die Behauptung.

Anordnungsaxiome

Die Anordnungsaxiome beschreiben die lineare Ordnung der reellen Zahlen und den Zusammenhang dieser Ordnung mit den arithmetischen Operationen, welche durch die Körperaxiome eingeführt wurden.

Herleitung der Anordnungsaxiome

Anders als andere Mathematik-Lehrbücher möchten wir an dieser Stelle nicht einfach die Anordnungsaxiome nennen, wir möchten vielmehr dieses Kapitel mit der Skizze eines Gedankenweges beginnen, über den man auf die Formulierung der Anordnungsaxiome kommen kann.

Charakteristische Eigenschaften der Kleiner-Relation

Aus unserer intuitiven Idee der Zahlengerade wissen wir, dass die reellen Zahlen eine Ordnung haben. Diese wollen wir nun durch die Anordungsaxiome beschreiben. Dazu müssen wir angeben, wie die Relationen $\leq$ , $\geq$ , $<$ und $>$ für die reellen Zahlen definiert sind.

Dabei reicht es aus, nur eine der vier Relationen anzugeben (siehe Ordnungsrelation aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“). Die restlichen drei Ordnungsrelationen ergeben sich dann automatisch aus der bereits angegebenen Relation.

Wir wählen hierzu die Kleiner-Relation $<$ . Aus dem Kapitel zur Ordnungsrelation wissen wir bereits, dass für diese Relation die folgenden beiden Eigenschaften charakteristisch sind:

$\forall x,y:x<y\ {\dot {\lor }}\ x=y\ {\dot {\lor }}\ y<x$ (Trichotomie der Kleiner-Relation)
$\forall x,y,z:x<y\land y<z\implies x<z$ (Transitivität der Kleiner-Relation)

Das Zeichen ${\dot {\lor }}$ steht dabei für die Kontravalenz, die Entweder-Oder-Verknüpfung zwischen Aussagen.

Nun müssen wir noch klären, wie die Kleiner-Relation mit den arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Zusammenhang steht. Im Kapitel zu den Körperaxiomen wurde erklärt, dass die Subtraktion als Addition und die Division als Multiplikation angesehen werden können. Insofern reicht es, nur die Zusammenhänge mit der Addition und der Multiplikation zu untersuchen.

Zusammenhang mit der Addition

Aus dem Modell der reellen Zahlen als Zahlengerade wissen wir, dass wenn wir beide Seiten der Ungleichung $x<y$ mit einer reellen Zahl $a$ addieren, die Ordnung erhalten bleibt:

Es gilt also:

x<y\implies a+x<a+y

Aus der obigen Zeichnung lässt sich aber auch die umgekehrte Implikationsrichtung herleiten. Es gilt also auch

a+x<a+y\implies x<y

Es ist also genau dann $x<y$ , wenn $a+x<a+y$ ist. Dementsprechend erhalten wir insgesamt die Äquivalenz:

x<y\iff a+x<a+y

Zusammenhang mit der Multiplikation

Bei der Multiplikation müssen wir unterscheiden, ob mit einer negativen oder mit einer positiven Zahl multipliziert wird. Werden beide Seiten der Ungleichung $x<y$ mit einer positiven Zahl $a$ multipliziert, so bleibt die Ungleichung erhalten:

Ähnlich wie bei der Addition gilt für positive Zahlen $a$ :

x<y\iff ax<ay

Bei der Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich die Ordnung um:

Es gilt für negative Zahlen $a$ :

x<y\iff ay<ax

Die Multiplikation beider Seiten der Ungleichung $x<y$ mit 0 ergibt immer die falsche Aussage $0<0$ und muss deswegen nicht betrachtet werden.

Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse

Bisher haben wir Folgendes herausgefunden: Es muss nur die Kleiner-Relation $<$ definiert werden. Diese hat die charakteristischen Eigenschaften:

$\forall x,y:x<y\ {\dot {\lor }}\ x=y\ {\dot {\lor }}\ y<x$
$x<y\land y<z\implies x<z$
$x<y\iff a+x<a+y$
Für positives $a$ : $x<y\iff ax<ay$
Für negatives $a$ : $x<y\iff ay<ax$

Reduzierung auf die notwendigen Axiome

Eigentlich könnten wir bereits obige Aussagen als Anordnungsaxiome definieren. Jedoch haben wir im Einführungskapitel zu den reellen Zahlen das Ziel formuliert, dass möglichst wenige und nur die wirklich notwendigen Aussagen als Axiome definiert werden. Insofern müssen wir noch schauen, ob die obigen Aussagen in ihrer Aussagekraft oder in ihrer Anzahl reduziert werden können.

Beginnen wir mit der Ungleichung

x<y

Wegen $x<y\iff a+x<a+y$ können wir beide Seiten mit $-x$ addieren. Wir erhalten

{\begin{aligned}{\begin{array}{rrcl}&x&<&y\\\iff \ &x+(-x)&<&y+(-x)\\\iff \ &0&<&y-x\end{array}}\end{aligned}}

Es ist also genau dann $x<y$ , wenn $0<y-x$ ist. Um die Kleiner-Relation $<$ definieren zu können, reicht es also aus zu wissen, welche Zahlen positiv sind. Eine Zahl $x$ ist nämlich genau dann kleiner als $y$ , wenn die bereits in den Körperaxiomen definierte Differenz $y-x$ positiv ist. Eine zweistellige Relation $x<y$ können wir also auf die Eigenschaft der Positivität und damit auf eine einstellige Relation reduzieren (Im Abschnitt zu den Relationen haben wir geklärt, dass Eigenschaften von Objekten als einstellige Relationen definiert werden).

Aus der Äquivalenz $x<y\iff 0<y-x$ ist erkennbar, dass es auf die Differenz $y-x$ ankommt. Wenn wir die obigen Aussagen geschickt umformen, dann erhalten wir:

$\forall x,y:0<y-x\ {\dot {\lor }}\ 0=y-x\ {\dot {\lor }}\ 0<-(y-x)$
$0<y-x\land 0<z-y\implies 0<z-x$
$0<y-x\iff 0<a+y-(a+x)$
Für positives $a$ : $0<y-x\iff 0<ay-ax=a(y-x)$
Für negatives $a$ : $0<y-x\iff 0<ax-ay=-a(y-x)$

In der Aussage

\forall x,y:0<y-x\ {\dot {\lor }}\ 0=y-x\ {\dot {\lor }}\ 0<-(y-x)

können wir $z=y-x$ setzen und erhalten

\forall z:0<z\ {\dot {\lor }}\ 0=z\ {\dot {\lor }}\ 0<-z

Die Aussage

0<y-x\iff 0<a+y-(a+x)

ist trivialerweise immer wahr, weil $a+y-(a+x)=y-x$ ist. Sie muss deswegen nicht extra als Axiom aufgenommen werden. Bei der Transitivitätsaussage

0<y-x\land 0<z-y\implies 0<z-x

kann man erkennen, dass $z-x=(z-y)+(y-x)$ ist. Diese Aussage könnte man also beweisen, wenn gilt

0<y-x\land 0<z-y\implies 0<(y-x)+(z-y)

Obige Aussage können wir vereinfachen, indem wir $a=y-x$ und $b=z-y$ setzen. Wir erhalten dann

0<a\land 0<b\implies 0<a+b

Diese Aussage, welche auch unserer intuitiven Idee der reellen Zahlen entspricht, nehmen wir nun in die Anordnungsaxiome auf, um später die Transitivität der Kleiner-Relation zu beweisen. Weiterhin setzen wir bei der Aussage

Für positives $a$ : $0<y-x\iff 0<ay-ax=a(y-x)$

für $y-x=b$ ein und erhalten analog zur gerade gefundenen Aussage mit der Addition positiver Zahlen:

0<a\land 0<b\implies 0<ab

Wie wir später sehen werden, kann die Regel mit der Multiplikation mit einer negativen Zahl aus den bereits genannten Axiomen hergeleitet werden. Insofern müssen wir auch diese Aussage nicht als Axiom definieren. Insgesamt erhalten wir folgende Aussagen als Axiome für die Anordnung reeller Zahlen:

$\forall x:0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
$\forall a,b:0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
$\forall a,b:0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Fassen wir nun unsere Erkenntnisse in Definitionen zusammen.

Definitionen zu den Anordnungsaxiomen

Die Ordnung der reellen Zahlen kann dadurch beschrieben werden, dass wir alle positiven Zahlen kennen. Wenn $x$ eine positive Zahl ist, schreiben wir $0<x$ . Die Positivität der reellen Zahlen wird dabei über die Anordnungsaxiome definiert:

Definition (Anordnungsaxiome)

Die Anordnungsaxiome lauten

Trichotomie der Positivität: Für alle reellen Zahlen $x$ gilt entweder $0<x$ oder $x=0$ oder $0<-x$ . Mit den Abkürzungen " $\forall$ " für "für alle" und " ${\dot {\lor }}$ " für "entweder oder" können wir dies schreiben als
$\forall x\in \mathbb {R} :0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<a+b$ . In Zeichen:
$\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<ab$ . In Zeichen:
$\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Mit Hilfe der Positivitätseigenschaft $0<x$ können wir die Kleiner-Relation definieren:

Definition (Kleiner-Relation)

Die Kleiner-Relation $x<y$ ist durch folgende Äquivalenz definiert:

x<y:\iff 0<y-x

Es ist also genau dann $x$ kleiner als $y$ , wenn die Differenz $y-x$ positiv ist. Über die Kleiner-Relation können wir alle weiteren Ordnungsrelationen definieren:

Definition (Weitere Ordnungsrelationen auf Grundlage der Kleiner-Relation)

Für die reellen Zahlen sind außerdem die Relationen $\geq$ , $\leq$ und $>$ über folgende Äquivalenzen definiert:

$x\leq y:\iff x<y\lor x=y$
$x\geq y:\iff y<x\lor x=y$
$x>y:\iff y<x$

Eine Struktur wie die der reellen Zahlen, die die Körper- und Anordnungsaxiome erfüllt, wird im Übrigen angeordneter Körper genannt:

Definition (angeordneter Körper)

Ein angeordneter Körper ist ein Körper, der die Anordnungsaxiome erfüllt.

Alternative Beschreibung der Anordnungsaxiome

Die Eigenschaft für eine Zahl, positiv zu sein, ist eine einstellige Relation. Im Kapitel zu den Relationen aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“ haben wir gelernt, dass einstellige Relationen über Mengen modelliert werden können. Hierzu definieren wir uns eine Menge $M$ , die alle Zahlen $x$ enthält, für die $0<x$ gilt und die damit positiv sind. Wenn man eine solche Menge $M$ hat, kann man anstelle von $0<x$ auch $x\in M$ schreiben. Dementsprechend können die Anordnungsaxiome auch umgeschrieben werden:

Definition (Alternative Definition der Anordnungsaxiome)

Es gibt eine Menge $M\subseteq \mathbb {R}$ mit folgenden Eigenschaften:

Trichotomie:
$M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}=\mathbb {R}$
Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
$\forall a,b:a\in M\land b\in M\implies a+b\in M$
Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation:
$\forall a,b:a\in M\land b\in M\implies ab\in M$

Eine Zahl wird positiv genannt, wenn sie Element von $M$ ist. Es gilt also

0<x:\iff x\in M

Alle weiteren Definitionen sind nun identisch zum obigen Abschnitt. Das Zeichen ${\dot {\cup }}$ ist im Übrigen die disjunkte Vereinigung.

Zur Erklärung der alternativen Anordnungsaxiome: Die Axiome zur Abgeschlossenheit wurden direkt übernommen, wobei $0<x$ durch $x\in M$ ersetzt wurde.

Zum Axiom der Trichotomie: Weil $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$ gleich $\mathbb {R}$ ist, ist jede reelle Zahl Element der Menge $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$ . Nun ist aber die Vereinigung von $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$ disjunkt und damit jede reelle Zahl Element von genau einer der drei Mengen

$M$
$\{0\}$
$\{-x:x\in M\}$

Im ersten Fall $x\in M$ ist $0<x$ . Für $x\in \{0\}$ ist $x=0$ und für $x\in \{-x:x\in M\}$ ist $0<-x$ . Die Gleichung

M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}=\mathbb {R}

ist also äquivalent zur oben eingeführten Version der Trichotomie.

Folgerungen der Anordnungsaxiome

Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der Anordnungsaxiome

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in $\mathbb {R}$ sind:

Eigenschaften der Kleiner-Relation:
- Trichotomie: $x<y\ {\dot {\lor }}\ x=y\ {\dot {\lor }}\ x>y$
- Transitivität: $x<y\land y<z\implies x<z$
- Translationsinvarianz: $x<y\iff x+a<y+a$
Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
- $x<y\land a<b\implies x+a<y+b$
- $x<y\iff -y<-x$
Multiplikation und Kleiner-Relation:
- $0<a\land x<y\implies ax<ay$
- $0\leq x<y\land 0\leq a<b\implies ax<by$
- $x<y\land a<0\implies ay<ax$
- $x<0\land y<0\implies 0<xy$
- $x\neq 0\implies x^{2}>0$
Inverses und Kleiner-Relation:
- $0<x\iff 0<x^{-1}$
- $x<0\iff x^{-1}<0$
- $0<x<y\iff 0<y^{-1}<x^{-1}$
- $x<y<0\iff y^{-1}<x^{-1}<0$
- $x<0<y\iff x^{-1}<0<y^{-1}$
Bernoulli-Ungleichung:
- $x\geq -1\land n\in \mathbb {N} \implies (1+x)^{n}\geq 1+n\cdot x$