Print specification – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Analysis1[Bearbeiten]

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Einleitung[Bearbeiten]

Supremum und Infimum[Bearbeiten]

Folgen[Bearbeiten]

Konvergenz und Divergenz[Bearbeiten]

  • Definition Grenzwert
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        • Was ist eine Umgebung einer Zahl?
    • after: Spendenaufruf
  • Konvergenz und Divergenz beweisen
    • exclude:
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        • Weitere Beweismethoden für Konvergenz und Divergenz
  • Beispiele für Grenzwerte
    • exclude:
      • print:
        • Harmonische Folge
        • Inverse Potenzfolge
        • Inverse Wurzelfolge
        • n-te Wurzel von c
        • Quotient Potenzfolge durch geometrische Folge
        • Quotient geometrische Folge durch Fakultätfolge
  • Unbeschränkte Folgen divergieren
    • exclude:
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        • Alternativer direkter Beweis
  • Grenzwertsätze
    • exclude:
      • print:
        • Probleme mit divergenten Folgen
        • Umkehrung der Betragsregel bei Nullfolgen
        • Die Potenzregel
        • Die Wurzelregel
        • Anmerkungen zur Monotonieregel
  • Der Sandwichsatz
    • exclude:
      • print:
        • Nützlicher Spezialfall
        • Beispiele und Aufgaben zum Sandwichsatz
        • Beispiele und Übungsaufgabe zum Spezialfall des Sandwichsatz
  • Monotoniekriterium
    • exclude:
      • print:
        • Anwendungsaufgabe
        • Folgerung für allgemeine Intervallschachtellungen
        • Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche Zahl
  • Konvergenzbeweise rekursiver Folgen
    • exclude:
      • print:
        • Alternative Möglichkeit: Folge in Teleskopreihe umformen und Bildungsvorschrift berechnen
        • Übungsaufgaben
        • Anwendungsbeispiel: Babylonisches oder Heronisches Wurzelziehen
  • Aufgaben
    • exclude:
      • print

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Reihen[Bearbeiten]

  • Begriff der Reihe
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        • Endliche Summen
        • Übungsaufgabe
        • Beispiel: Geometrische Reihe mit
    • after: Spendenaufruf
  • Rechenregeln für Reihen
    • exclude:
      • print:
        • Übersicht
        • Beispielaufgabe Summenregel
        • Beispielaufgabe Faktorregel
        • Ausblick: Reihen und Vektorräume
  • Teleskopsumme und Teleskopreihe
    • exclude:
      • print:
        • Beispielaufgaben
        • Reihe ist Folge und Folge ist Reihe
  • Geometrische Reihe
    • exclude:
      • print:
        • Beispielaufgaben
  • Harmonische Reihe
    • exclude:
      • print:
        • Vermutung, ob die harmonische Reihe konvergiert
        • Asymptotik
        • Alternierende harmonische Reihe
        • Allgemeine harmonische Reihe
        • Die Reihe der reziproken Quadratzahlen
  • Absolute Konvergenz einer Reihe
    • exclude:
      • print:
        • Vertiefung: Bedingte und unbedingte Konvergenz
  • Umordnungssatz für Reihen
    • todo: Farben verändern
    • todo: Induktionsschritt bei endlichen Summen
    • exclude:
      • print:
        • Umgeordnete Reihen können divergieren
        • Unbedingte und bedingte Konvergenz

Kriterien für Konvergenz von Reihen[Bearbeiten]

    • todo: Kurzversion Kapitel Cauchy-Kriterium?


Stetigkeit von Funktionen[Bearbeiten]

  • Stetigkeit von Funktionen
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  • Folgenkriterium
    • exclude:
      • print:
        • Auswirkungen der Definition
        • Beispiel für das Folgenkriterium
        • Zusammenhang zum Epsilon-Delta-Kriterium
        • Sprungstellen und Stetigkeit
        • Übergang zur formalen Definition
        • Allgemeine Beweisskizzen
        • Übungsaufgaben
  • Epsilon-Delta-Kriterium
    • exclude:
      • print:
        • Übungsaufgaben
        • Beispielaufgaben
        • Herleitung des Epsilon-Delta-Kriterium für Unstetigkeit
        • Beispiel einer stetigen Funktion
        • Beispiel einer unstetigen Funktion
        • Zusammenhang mit dem Folgenkriterium
        • Abhängigkeiten der Variablen
  • Grenzwert von Funktionen
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  • Komposition stetiger Funktionen
    • exclude:
      • print:
        • Motivation
        • Vertiefung
        • Beweise der Verkettungssätze
        • Vergleich zum Epsilon-Delta-Kriterium
        • Allgemeine Beweisskizze
        • Folgerung: Polynomfunktionen sind stetig
  • Stetigkeit beweisen
    • exclude:
      • print:
        • Übungsaufgaben
        • Wiederholung: Folgenkriterium
        • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
        • Verkettung stetiger Funktionen
    • after: Spendenaufruf
  • Unstetigkeit beweisen
    • exclude:
      • print:
        • Übungsaufgaben
        • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
        • Wiederholung: Folgenkriterium
    • todo: Bild mit den Punkten sollte vergrößert werden. Vielleicht auch die anderen!
  • Zwischenwertsatz
    • exclude:
      • print:
        • Folgerungungen aus dem Zwischenwertsatz
        • Übungsaufgabe: Nullstellen und Wertebereich von Polynomen
        • Übungsaufgabe: Existenz von Wurzeln
        • Übungsaufgabe: Lösung einer Gleichung
        • Voraussetzungen zum Fixpunktsatz
  • Satz vom Minimum und Maximum
    • exclude:
      • print:
        • Die Voraussetzungen des Satzes
        • Übungsaufgabe: Bild von Polynomen geraden Grades
        • Übungsaufgabe: Stetige Funktion auf [0,1]
  • Stetigkeit der Umkehrfunktion
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      • print
  • Gleichmäßige Stetigkeit
    • exclude:
      • print:
        • Gleichmäßige Stetigkeit als Verschärfung der Stetigkeit
        • Wiederholung: Visualisierung beim Epsilon-Delta-Kriterium
        • Gleichmäßige Stetigkeit ist eine globale Eigenschaft
        • Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium
        • Herleitung der Negation der gleichmäßigen Stetigkeit
        • Quantorenschreibweise
  • Lipschitz-Stetigkeit
    • exclude:
      • print

Ableitung[Bearbeiten]

  • Ableitung
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        • Ableitung als verallgemeinerte Steigung
        • Beispiel: Kleinwinkelnäherung des Sinus
        • Notationen
        • Übersicht zu allen Notationen
        • Beschreibung der Ableitung über stetige Funktion
        • Differenzierbare Funktionen sind knickfrei
        • Beispiel: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar
        • Übungsaufgaben
  • Ableitungsregeln
    • exclude:
      • print:
        • Faktorregel
        • Summenregel
        • Produktregel
        • Quotientenregel
        • Kettenregel
  • Spezielle Ableitungsregeln
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  • Ableitung der Umkehrfunktion
    • exclude:
      • print:
        • Beispiele
        • Übungsaufgaben
        • Umkehrung des Satzes und Erweiterung auf gesamten Definitionsbereich
    • todo: Größere weiße Leerräume entfernen (wohl ein Fall für die Programmierer)
  • Beispiele für Ableitungen
    • exclude:
      • print:
        • Beispiele zur Berechnung von Ableitungen
  • Ableitung höherer Ordnung
    • exclude:
      • print:
        • Übungsaufgaben zu höheren Ableitungen
        • Rechenregeln für höhere Ableitungen
  • Satz von Rolle
    • exclude:
      • print:
        • Zu den Prämissen des Satzes
        • Weitere Übungsaufgabe
        • Übungsaufgabe
        • Ausblick: Satz von Rolle und Mittelwertsatz
  • Mittelwertsatz
    • exclude:
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        • Übungsaufgabe
        • Ungleichung zum Logarithmus
        • Praxis: Geschwindigkeitskontrolle mit Lichtschranken
        • Lipschitz-Variante des Schrankensatz
        • Aufgabe zum zweiten Mittelwertsatz
        • Äquivalenz von Mittelwertsatz und Satz von Rolle
        • Zweiter Mittelwertsatz
        • Übersicht der Folgerungen aus den Mittelwertsätzen
    • after: Mitmachaufruf
  • Konstanzkriterium
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      • print:
        • Anwendung: Charakterisierung der Exponentialfunktion
        • Intervallvoraussetzung des Konstanzkriteriums
        • Funktionalgleichung für Arkustangens
        • Charakterisierung vom Sinus und Kosinus
        • Trigonometrischer Pythagoras
  • Monotoniekriterium
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        • Übungsaufgaben
        • Trigonometrische Funktionen
        • Quadratische und kubische Funktionen
        • Beweis
  • Ableitung und lokale Extrema
    • exclude:
      • print:
        • Beispiele
        • Übungsaufgaben
        • Beispiel
        • Bedingungen sind nicht notwendig
        • Erweitertes hinreichendes Kriteriums
  • Regel von L'Hospital
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  • Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
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  • Aufgaben 1
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  • Aufgaben 2
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  • Aufgaben 3
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  • Aufgaben 4
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Integrale[Bearbeiten]

  • Das Integral
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        • Definition als Fläche unter dem Graphen
        • Definition über Stammfunktion
        • Probleme mit der Definition
        • Ablage
  • Riemannintegral
    • exclude:
      • print:
        • Beispiele
        • Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral
        • Berechnung des Riemannintegrals
        • Folgenkriterium
  • Eigenschaften des Riemannintegrals
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        • Herleitung und Beweis der Eigenschaften
  • Regelintegral
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  • Mittelwertsatz für Integrale
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        • Verallgemeinerter Mittelwertsatz
  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
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        • Integralfunktion
        • Zusammenhang: Integral- und Ableitungsfunktion
        • Aufgaben
  • Substitutionsregel
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        • Berechnung von bestimmten Integralen
        • Berechnung von unbestimmten Integralen
        • Spezialfälle
        • Aufgaben
        • „Umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel mit Beispielen
  • Partielle Integration
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        • Aufgaben
        • Herleitung von Rekursionsformeln
        • Satz und Beweis
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        • Typ:
    • after: Spendenaufruf
  • Beispiele für Integrale
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      • minimal
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  • Aufgaben
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      • minimal
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