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STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {grey}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Hoch zum Anfang Klasse 5 Grundrechenartenvorrang $\ (-41)+99:(3\cdot 7-32)-(8:2+5)\cdot (-5)\$ $\ (+120):(2\cdot 7-36:9)-(35:5-3\cdot 2)\cdot (-4)$ $\ (7\cdot 3-56:2):(45:3-4\cdot 2)$ Strich und Punkt Bruchrechnungen $\ {\frac {11}{3}}:{\frac {8}{13}}\$ $\ {\frac {11}{3}}-{\frac {8}{13}}\$ $-{\frac {11}{13}}-{\frac {2}{13}}$ $\ {\frac {11}{3}}\cdot {\frac {8}{13}}\$ Direkte Proportionalität (auch Schlussrechnung oder Dreisatz) In EU produzierte im Jahr (365 Tage) 2016 eine Person durchschnittlich 6,5 Tonnen CO2. Wie viel war die Produktion pro Woche (7 Tage)? Wie viele Tage hätte sie gebraucht, um 0,13 Tonnen zu produzieren? Einheiten und physikalische Größen Ordnen Sie die passenden Einheiten zu den entsprechenden physik. Größen richtig zu: Die Fläche einer Stadt ist ca. 560 ... $\ell$ Der Abstand zwischen Augen ist ca. 0,15... s Das Volumen einer Flasche ist ca. 0,55... kg Die Dauer eines Atemzugs ist 0,002... km² Die Masse eines Bleistifts ist 0,021... h Die Dauer eines Fußballspiels ist ca. 6100... dm Einheiten ohne Hochzahl Rechnen Sie um: 0,577 mm in m 577 km in dm 0,793 kg in mg 0,000783 s in min 0,0773 Tage in min Klasse 6 Grundrechenartenvorrang $\ (-41)+99:(3\cdot 7-32)-(8:2+5)\cdot (-5)\$ $\ (+120):(2\cdot 7-36:9)-(35:5-3\cdot 2)\cdot (-4)$ $\ (7\cdot 3-56:2):(45:3-4\cdot 2)$ Strich und Punkt Bruchrechnungen $\ {\frac {11}{3}}:{\frac {8}{13}}\$ $\ {\frac {11}{3}}-{\frac {8}{13}}\$ $-{\frac {11}{13}}-{\frac {2}{13}}$ $\ {\frac {11}{3}}\cdot {\frac {8}{13}}\$ Direkte Proportionalität (auch Schlussrechnung oder Dreisatz) In EU produzierte im Jahr (365 Tage) 2016 eine Person durchschnittlich 6,5 Tonnen CO2. Wie viel war die Produktion pro Woche (7 Tage)? Wie viele Tage hätte sie gebraucht, um 0,13 Tonnen zu produzieren? Grundaufgaben der Prozentrechnung Von wie vielen h sind 0,17 h 6510%? Wie viel % von 0,17 h sind 6510 h? Wie viel ist 0,17% von 6510 h? Bruchkürzen Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {21}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{12}}=\qquad$ $\ {\frac {12}{39}}=\qquad$ $\ {\frac {39}{52}}=\qquad$ $\ {\frac {33}{99}}=\qquad$ Kürzen mit Primfaktorzerlegung $\ {\frac {6552}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {56056}{32760}}=\qquad$ Gemischte Zahlen Gemischte Zahl in unechten Bruch: $5{\frac {2}{7}}\ \qquad \ 1{\frac {1}{6}}\ \qquad \ 9{\frac {8}{9}}\ \$ Unechten Bruch in gemischte Zahl ${\frac {447}{11}}\ \qquad \ {\frac {9}{7}}\ \qquad \ {\frac {35}{5}}\ \$ Subtraktion: $5-{\frac {52}{7}}\ \qquad \ 1-{\frac {1}{6}}\ \qquad \ {\frac {143}{9}}-10\ \quad \ {\frac {16}{17}}-1\$ Umformen Grundwissen Gegenrechnungen Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable! $\ c+5347=2744\qquad$ $\ {\tfrac {k}{7}}=13\qquad$ $\ 6f=168\qquad$ $\ x-592=-5426\qquad$ $\ 58m=986\qquad$ $\ 51w=900\qquad$ Textaufgaben zu den Bruchrechnungen In einem Staat mit ca. 9,702 Millionen EinwohnerInnen und 13,2 Milliarden € Vermögen haben 99 Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{15}}\$des Vermögens ("Multimillionäre"), noch 2640 Menschen $\textstyle \ {\frac {10}{33}}\$ des Vermögens ("Millionäre"), noch 3,528 Millionen Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{11}}\$ des Vermögens (Mittelschicht) und die restlichen Menschen den Rest des Vermögens ("der Rest"). Wie viel Geld besitzt jede Gruppe? Welcher Anteil der Bevölkerung (als gekürzte Bruch) gehört zu jeder Gruppe? Vergleichen Sie diese Daten mit Daten aus ihrem eigenen Staat! Indirekte Proportionalität Die Grenze des durchschnittlichen Energieverbrauchs bei 7 Milliarden Menschen liegt bei 3 kWh pro Stunde ist. Wo liegt sie bei 15 Milliarden Menschen? Einheiten und physikalische Größen Ordnen Sie die passenden Einheiten zu den entsprechenden physik. Größen richtig zu: Die Fläche einer Stadt ist ca. 560 ... $\ell$ Der Abstand zwischen Augen ist ca. 0,15... s Das Volumen einer Flasche ist ca. 0,55... kg Die Dauer eines Atemzugs ist 0,002... km² Die Masse eines Bleistifts ist 0,021... h Die Dauer eines Fußballspiels ist ca. 6100... dm Einheiten ohne Hochzahl Rechnen Sie um: 0,577 mm in m 577 km in dm 0,793 kg in mg 0,000783 s in min 0,0773 Tage in min Klasse 7 Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis ${3^{-5}}\cdot {3^{6}}$ ${b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}$ Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer Lösen Sie die Klammer auf und fassen Sie die daraus entstandenen Termen ggf. zusammen! $\ 4v^{7}(7v^{4}+3v^{5}-2v)\qquad \quad$ $(2g^{5}+3g^{3})(5g^{2}+4g)$ Textaufgaben zu den Grundrechenarten Berechnen Sie das Produkt aus 6 und 7, reduzieren Sie die Zahl 39 um 48 und addieren Sie die zwei Ergebnisse! Dividieren Sie die Summe von 7 und 33 durch die Differenz von 19 und 15! Berechnen Sie das 8-fache von 7 und Subtrahieren Sie das Ergebnis aus der Zahl 23 um 15 erhöht! Multiplizieren Sie den Quotient aus 91 und 7 mit der Zahl 26 auf 13 geteilt! Grundrechenartenvorrang $\ (-41)+99:(3\cdot 7-32)-(8:2+5)\cdot (-5)\$ $\ (+120):(2\cdot 7-36:9)-(35:5-3\cdot 2)\cdot (-4)$ $\ (7\cdot 3-56:2):(45:3-4\cdot 2)$ Direkte Proportionalität (auch Schlussrechnung oder Dreisatz) In EU produzierte im Jahr (365 Tage) 2016 eine Person durchschnittlich 6,5 Tonnen CO2. Wie viel war die Produktion pro Woche (7 Tage)? Wie viele Tage hätte sie gebraucht, um 0,13 Tonnen zu produzieren? Grundaufgaben der Prozentrechnung Von wie vielen h sind 0,17 h 6510%? Wie viel % von 0,17 h sind 6510 h? Wie viel ist 0,17% von 6510 h? Bruchkürzen Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {21}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{12}}=\qquad$ $\ {\frac {12}{39}}=\qquad$ $\ {\frac {39}{52}}=\qquad$ $\ {\frac {33}{99}}=\qquad$ Kürzen mit Primfaktorzerlegung $\ {\frac {6552}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {56056}{32760}}=\qquad$ Erweitern Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable! $\ {\frac {9}{6}}=\ (4)\qquad$ $\ {\frac {12}{7}}=\ (5)\qquad$ $\ {\frac {5}{8}}=\ (8)\qquad$ $\ {\frac {11}{4}}=\ (6)\qquad$ $\ {\frac {5}{7}}=\ (m)\qquad$ Gemischte Zahlen Gemischte Zahl in unechten Bruch: $5{\frac {2}{7}}\ \qquad \ 1{\frac {1}{6}}\ \qquad \ 9{\frac {8}{9}}\ \$ Unechten Bruch in gemischte Zahl ${\frac {447}{11}}\ \qquad \ {\frac {9}{7}}\ \qquad \ {\frac {35}{5}}\ \$ Subtraktion: $5-{\frac {52}{7}}\ \qquad \ 1-{\frac {1}{6}}\ \qquad \ {\frac {143}{9}}-10\ \quad \ {\frac {16}{17}}-1\$ Strich und Punkt Bruchrechnungen $\ {\frac {11}{3}}:{\frac {8}{13}}\$ $\ {\frac {11}{3}}-{\frac {8}{13}}\$ $-{\frac {11}{13}}-{\frac {2}{13}}$ $\ {\frac {11}{3}}\cdot {\frac {8}{13}}\$ Doppelbrüche ${\dfrac {\ {\frac {4}{3}}-{1}\ }{{\frac {5}{4}}-1}}$ Umformen Grundwissen Gegenrechnungen Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable! $\ c+5347=2744\qquad$ $\ {\tfrac {k}{7}}=13\qquad$ $\ 6f=168\qquad$ $\ x-592=-5426\qquad$ $\ 58m=986\qquad$ $\ 51w=900\qquad$ Umformen einfache Kombinationen Formen Sie auf die unbekannte Variable um! $7(3z+2)=9z-10$ Textaufgaben zu den Bruchrechnungen In einem Staat mit ca. 9,702 Millionen EinwohnerInnen und 13,2 Milliarden € Vermögen haben 99 Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{15}}\$des Vermögens ("Multimillionäre"), noch 2640 Menschen $\textstyle \ {\frac {10}{33}}\$ des Vermögens ("Millionäre"), noch 3,528 Millionen Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{11}}\$ des Vermögens (Mittelschicht) und die restlichen Menschen den Rest des Vermögens ("der Rest"). Wie viel Geld besitzt jede Gruppe? Welcher Anteil der Bevölkerung (als gekürzte Bruch) gehört zu jeder Gruppe? Vergleichen Sie diese Daten mit Daten aus ihrem eigenen Staat! Indirekte Proportionalität Die Grenze des durchschnittlichen Energieverbrauchs bei 7 Milliarden Menschen liegt bei 3 kWh pro Stunde ist. Wo liegt sie bei 15 Milliarden Menschen? Einheiten und physikalische Größen Ordnen Sie die passenden Einheiten zu den entsprechenden physik. Größen richtig zu: Die Fläche einer Stadt ist ca. 560 ... $\ell$ Der Abstand zwischen Augen ist ca. 0,15... s Das Volumen einer Flasche ist ca. 0,55... kg Die Dauer eines Atemzugs ist 0,002... km² Die Masse eines Bleistifts ist 0,021... h Die Dauer eines Fußballspiels ist ca. 6100... dm Einheiten ohne Hochzahl Rechnen Sie um: 0,577 mm in m 577 km in dm 0,793 kg in mg 0,000783 s in min 0,0773 Tage in min Einheiten mit Hochzahl Rechnen Sie um: 447 dm³ in cm³ 257 dm² in km² 311 mm² in m² 0,00335 cm³ in mm³ 0,0257 dm³ in mm³ Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie Ein Rechteck ist 21,5 dm lang und 77 cm breit. Der Durchmesser eines Kreises ist 2,8 dm. Die Länge eines Parallelogramms ist 0,34 m, die entsprechende Höhe 9 cm und die kürzere Seite 2,3 dm. Satz von Pythagoras In der Figur seien a=12cm und c=169mm. Wie viel ist dann b? Lageparameter Gegeben sind die folgenden zwei Wertegruppen, das Modell DE und das Modell GR, die die Verteilung des Vermögens in Deutschland bzw. in Griechenland ähneln: DE: 16 10 10 1 1 300 10 1 1 10 und GR: 11 9 1 1 1 100 1 14 11 11 Berechnen Sie jeweils die Lageparameter und die Spannweite. Lineare Funktion Diagramm Das Diagramm stellt ein Modell der Abhängigkeit der Lebenserwartung vom Rauchen dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 25 Zigaretten am Tag raucht. Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 14 Zigaretten am Tag raucht. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 68 Jahre ist. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 65 Jahre ist. Wie viel die Lebenserwartung für nicht-rauchende Personen ist. Liniendiagramm Das Diagramm stellt die Konzentration von CO2 (y-Achse) in Bezug auf die Zeit (x-Achse, Tausende Jahre in der Vergangenheit) dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel die Konzentration vor 50, 100 und 400 Tausende Jahre war. Wann die Konzentration 280 ppmv war. Wann die Konzentration 190 ppmv war. Säulendiagramm Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele SchülerInnen: genau 3 Punkte genau 5 Punkte keine Punkte höchstens 3 Punkte mindestens 3 Punkte haben mindestens 2 und höchstens 4 Punkte haben! Mittelwerte bei einem Säulendiagramm Geben Sie den Modus an und berechnen Sie den Durchschnitt! Kreisdiagramm Zu welchen der folgenden Aussagen passen die folgenden Diagrammen? Ein Stall hat 2 Ziegen, 3 Schafe, 8 Kühe, 2 Schweine und 1 Pferd. Ein Kind hat 1 Kartenspiele, 2 Brettspiele, 2 Bälle, 3 Puppe und 1 Spielschwert. In einer Schule gibt es 2 Lehrer für Mathematik, 1 für Englisch, 2 für Deutsch, 2 für Geographie und 1 für Musik. Ein Bauernhof hat 18 Hühner, 1 Hahn, 3 Gänsen, 3 Kanarinen, 2 Katzen und 9 Enten. In einem Tierheim gibt es 2 schwarze Katzen, 4 roten, 1 weißen, 8 dreifarbige und 1 schwarz-rot. In einer Klasse sind 2 Personen aus Österreich, 2 aus Deutschland, 8 aus der Türkei, 2 aus Serbien und 2 aus Tschechien. In einer Klasse wählen 3 Personen die Partei "Bild", 3 Personen die Partei "Welt", 3 die Partei "Nature", 6 die Partei "Grob" und 3 keine Partei. Ein Haus hat 6 Schlafzimmer, 1 WCs, 1 Küche, 1 Wohnraum und 3 Badezimmer. W X Y Z Umformen in der ebenen Geometrie konkret Der Umfang eines Kreises ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche! Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung $2{\frac {9}{28}}+{\frac {11}{63}}-1{\frac {5}{24}}$ Ähnlichkeit von Figuren In den Figuren werden zwei ähnliche Dreiecke dargestellt. Gegeben sind die Längen der folgenden Seiten: c=95 mm, b=7,4 cm, d=1,86 dm und f=14 cm. Wie lang sind die restlichen Seiten? Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme Das Gehalt einer Managerin war 650000€ und wurde nach eine Massenentlassung von Angestellten um 5,4% erhöht. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt erhöht? Umkehraufgaben der Prozentrechnung Der pro Kopf Energieverbrauch in EU sei 3,6 kW und damit 1400% mehr als in Kongo. Wie viel ist er im Kongo? Wie viele kW ist der Unterschied? KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr Im Jahr 2001 war das Guthaben in einem Konto 80000€, der effektiver Zinssatz 1,05%. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2002? Zinsen Umkehraufgaben Im Jahr 2001 war das Guthaben in einem Konto 80000€, der effektiver Zinssatz 1,05%. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2000? Zinsrechnung Im Jahr 2001 war das Guthaben in einem Konto 80000€, der effektiver Zinssatz 1,05%. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2002? Wie viel war das Guthaben im Jahr 2000? Wie viel war das Guthaben im Jahr 2107? Klasse 8 Textaufgaben zu den Grundrechenarten Berechnen Sie das Produkt aus 6 und 7, reduzieren Sie die Zahl 39 um 48 und addieren Sie die zwei Ergebnisse! Dividieren Sie die Summe von 7 und 33 durch die Differenz von 19 und 15! Berechnen Sie das 8-fache von 7 und Subtrahieren Sie das Ergebnis aus der Zahl 23 um 15 erhöht! Multiplizieren Sie den Quotient aus 91 und 7 mit der Zahl 26 auf 13 geteilt! Grundrechenartenvorrang Vorrang mit Klammern in Klammern $\ -(-41+37)-[(-3\cdot 8-11):(+7)-(+4)]:(-9)+(+37)-(91:7-13)\cdot (-2)-(-11)\$ Doppelbrüche ${\dfrac {\ {\frac {4}{3}}-{1}\ }{{\frac {5}{4}}-1}}$ Bruchrechnungen und Vorrang ${\frac {16}{77}}:\left({\frac {3}{5}}-1{\frac {17}{28}}:2{\frac {1}{4}}\right)-1{\frac {1}{11}}\cdot {\frac {5}{4}}$ Textaufgaben zu den Bruchrechnungen In einem Staat mit ca. 9,702 Millionen EinwohnerInnen und 13,2 Milliarden € Vermögen haben 99 Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{15}}\$des Vermögens ("Multimillionäre"), noch 2640 Menschen $\textstyle \ {\frac {10}{33}}\$ des Vermögens ("Millionäre"), noch 3,528 Millionen Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{11}}\$ des Vermögens (Mittelschicht) und die restlichen Menschen den Rest des Vermögens ("der Rest"). Wie viel Geld besitzt jede Gruppe? Welcher Anteil der Bevölkerung (als gekürzte Bruch) gehört zu jeder Gruppe? Vergleichen Sie diese Daten mit Daten aus ihrem eigenen Staat! Kürzen mit Primfaktorzerlegung $\ {\frac {6552}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {56056}{32760}}=\qquad$ Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung $2{\frac {9}{28}}+{\frac {11}{63}}-1{\frac {5}{24}}$ Textaufgaben Primfaktorzerlegung Zwei Planeten und ihre Sonne befinden sich auf einer Gerade. Die Laufbahn der Planeten um ihrer Sonne dauert 11088 bzw. 56056 (von unseren) Tage. Wie lang dauert es bis die zwei Planeten und ihre Sonne sich wieder auf einer Gerade befinden? Direkte Proportionalität (auch Schlussrechnung oder Dreisatz) In EU produzierte im Jahr (365 Tage) 2016 eine Person durchschnittlich 6,5 Tonnen CO2. Wie viel war die Produktion pro Woche (7 Tage)? Wie viele Tage hätte sie gebraucht, um 0,13 Tonnen zu produzieren? Indirekte Proportionalität Die Grenze des durchschnittlichen Energieverbrauchs bei 7 Milliarden Menschen liegt bei 3 kWh pro Stunde ist. Wo liegt sie bei 15 Milliarden Menschen? Vergleich direkter und indirekter Proportionalität In Prato in Italien produzierten ChinesInnen (oft unter Druck) im Jahr 2018 billige Kleidung (oft um weniger als 1 € Stundenlohn und für mehr als 14 Stunden Arbeit pro Tag). In 21 Stunden produzieren 6 ArbeiterInnen Kleidung im Wert von 1400€. Wie lang brauchen diese ArbeiterInnen um 210€ Wert Kleidung zu produzieren? Wie lang brauchen 9 ArbeiterInnen um diese 1400€ Wert Kleidung zu produzieren? Wie lang brauchen 8 ArbeiterInnen um 1750€ Wert Kleidung zu produzieren? Grundaufgaben der Prozentrechnung Von wie vielen h sind 0,17 h 6510%? Wie viel % von 0,17 h sind 6510 h? Wie viel ist 0,17% von 6510 h? Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme Das Gehalt einer Managerin war 650000€ und wurde nach eine Massenentlassung von Angestellten um 5,4% erhöht. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt erhöht? Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung Nehmen wir an, dass die Menge von radioaktivem Müll in einem Staat zwischen 1993 und 1994 um 4% gestiegen und zwischen 1994 und 1995 um weiter 5% auf 16,38 t gestiegen ist. Wie viele t wäre sie ursprünglich? Um wie viel Prozent wäre sie insgesamt gestiegen? Umsatzsteuer (USt.) Der Bruttoverkaufspreis einer Ware ist 93€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis, wenn die USt. 24% ist. Rabatt Der Verkaufspreis einer Ware nach einem Rabatt ist 836,6 €. Der Bruttoverkaufspreis war 890 €. Wie viel Prozent ist der Rabatt? USt. und Rabatt Gegebener Endwert Der Verkaufspreis einer Ware nach 20% Rabatt ist 88 €. Berechnen Sie den Netto- und Bruttoverkaufspreis , wenn die USt. 25% ist. Wie viel € ist der Rabatt bzw. die USt.? Prozentrechnung abstrakt In den folgenden Beispielen gehen wir davon aus, dass es in der Bevölkerung so viele Männer gibt wie Frauen. Der Anteil der Raucher unter der Bevölkerung ist 27,5%. Der Anteil der Raucher unter den Männern ist 35%. Wie viel ist der Anteil der Raucherinnen unter den Frauen? Die Lebenserwartung der Bevölkerung ist 80 Jahre. Die Lebenserwartung der nicht-Raucher ist 82,4 Jahre. Wie viele Jahre weniger ist die Lebenserwartung der Rauchenden in Vergleich zu den nicht-Rauchenden Personen? Wäre das Rauchen die einzige Erklärung für den Unterschied der Lebenserwartung zwischen den beiden Geschlechtern, wie viel Jahre wäre diese für Männer und für Frauen? Welche Information ist noch notwendig, um den Einfluss des Rauchens auf den Lebenserwartungsunterschied zwischen den Geschlechtern genauer zu bestimmen? Wenn wir letztere Information haben, was ist noch notwendig, um zu entscheiden, ob das Rauchen bei dieser Frage tatsächlich der einzige bestimmende Faktor ist? Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit tatsächlichen offiziellen Statistiken! Zahlenmengen border="1" style="text-align:center; background: gray; color: black; padding: 1em; font-size: 95%; margin: 1em " $\quad$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {I}$ $\mathbb {R}$ $\textstyle {\frac {0{,}5}{\sqrt {0{,}0625}}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {38}{3}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {52}{1{,}3}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle {\frac {\sqrt {169}}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle {\frac {\sqrt {-9}}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${28}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $-{\sqrt {(-25)(-4)}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${\sqrt {18}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${3^{-5}}\cdot {3^{6}}$ ${b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${\frac {b^{-3}}{b^{-5}}}$ ${\frac {w^{-b}}{w^{-12}}}$

Potenzen Erklärung

Warum ist$\textstyle \ s^{-1}={\frac {1}{s}}$?

Aufgaben mit einer Klammer

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit einer Klammer

Herausheben

Aufgaben mit 2 Klammern

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit 2 Klammern

Herausheben

Faktorisieren Sie, so weit es mit natürlichen Zahlen geht: $18\ b^{4}\ y^{3}\ n^{4}-12\ y^{7}n^{6}-30\ b^{8}y^{1}0n^{5}+6\ y^{3}\ n^{4}$

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Multiplizieren Sie folgende binomische Formeln aus: $\ \left(12\ g^{2{,}5}+7\ g^{6{,}5}\right)^{2}\qquad$ $(4\ a^{4}-11\ a^{6})^{2}\quad$

Binomische Formeln faktorisieren

Faktorisieren Sie folgende Terme: $\ 225\ v^{7}+360\ v^{12}+144\ v^{17}$ $4\ n^{4}-10\ n^{10}+6{,}25\ n^{16}$

Binomische Formeln erkennen

Können folgende Ausdrücke als binomische Formeln faktorisiert werden? Wenn nicht, was könnte geändert werden? $\ 121\ r^{7}+330\ r^{12}+225\ r^{17}$ $\ 49\ c^{7}+14\ c^{11}+4\ c^{17}$

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

Multiplizieren Sie mit Hilfe des pascalschen Dreiecks folgendes Binom aus: $\ (5b^{2}-7e)^{4}\quad$

Bruchterme kürzen

Kürzen Sie folgenden Bruchterm: ${\frac {27x^{3}-18x^{2}+3x}{7x^{2}-4x+4x^{2}+1x}}$

Bruchtermegleichungen

Finden Sie die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchtermegleichung ${\frac {4x^{2}-5x-2x^{2}+4x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

Polynomdivision

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Polynomdivision

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Umformen Grundwissen Gegenrechnungenn

Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um! $7(3z+2)=9z-10$

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

An einem Wohnblock gibt es 18 Wohnungen, manche haben 20 und der Rest 15 Steckdosen. Insgesamt haben sie 315 Steckdosen. Wie viele Wohnungen mit 15 bzw 20 Steckdosen gibt es?

Einsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=3\\-3x+5y=31\end{matrix}}\ \right|$

Gleichsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=-1\\-3x+2y=23\end{matrix}}\ \right|$

Additionsverfahren

Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Eliminationsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}2m-4c=8\\3m+5c=1\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}3k-2g=-11\\-2k+5g=11\end{matrix}}\ \right|$

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

$\left|\ {\begin{matrix}3x+2y=8\\4{,}5x+3y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}15x-9y=3\\x-0{,}2=0{,}6y\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}-2x+2y=11\\3x+5y=24\end{matrix}}\ \right|$

Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

$\left|\ {\begin{matrix}3x+2y=8\\4{,}5x+3y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}15x-9y=3\\x-0{,}2=0{,}6y\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}-2x+2y=11\\3x+5y=24\end{matrix}}\ \right|$

Lineare Funktion Diagramm

Das Diagramm stellt ein Modell der Abhängigkeit der Lebenserwartung vom Rauchen dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 25 Zigaretten am Tag raucht. Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 14 Zigaretten am Tag raucht. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 68 Jahre ist. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 65 Jahre ist. Wie viel die Lebenserwartung für nicht-rauchende Personen ist.

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung? Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung?

Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ist!

Textaufgaben zu den linearen Funktionen

Ein Auto fährt von Paris nach der 311 km entfernten Stadt Brüssels mit 72 km/h durchschnittlicher Geschwindigkeit. Geben Sie zuerst den Zusammenhang zwischen Zeit und Abstand von Brüssels als lineare Funktion an! Wie lang dauert die Fahrt? Wie weit von Brüssels und wie weit von Paris entferntbefindet sich das Auto nach 24 min? Wie viel kg ist der CO2 Ausstoß nach 24 min, wenn 7 kg nach 40 km ausgestoßen werden?

Ähnlichkeit von Figuren

In den Figuren werden zwei ähnliche Dreiecke dargestellt. Gegeben sind die Längen der folgenden Seiten: c=95 mm, b=7,4 cm, d=1,86 dm und f=14 cm. Wie lang sind die restlichen Seiten?

Zusammengesetzte Figuren

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des gleichseitigen Dreiecks aus!

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

Ein Rechteck ist 21,5 dm lang und 77 cm breit. Der Durchmesser eines Kreises ist 2,8 dm. Die Länge eines Parallelogramms ist 0,34 m, die entsprechende Höhe 9 cm und die kürzere Seite 2,3 dm.

Umformen in der ebenen Geometrie konkret

Der Umfang eines Kreises ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

Begründen Sie, ob in einem gleichseitigen Dreieck mit Fläche A die Seite a mit der Formel: $\textstyle {a={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}}$ berechnet werden kann.

Satz von Pythagoras

In der Figur seien a=12cm und c=169mm. Wie viel ist dann b? Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist 42mm. Wie groß ist seine Fläche?

Geometrie Beweise

Mit Hilfe der Figur beweisen Sie den Satz von Pythagoras.

Formel Einsetzen in der Raumgeometrie

Der Abstand vom Mittelpunkt bis am Rand der Basis eines Tipis (indianisches Zelt) ist 39 dm, seine Höhe 2,8 m. Wie viel ist der Umfang der Basis, der Mantel, der Boden und das Volumen des Zeltes?

Umformen in der Raumgeometrie konkret

Die Oberfläche eines Balles ist 1256,64 cm². Wie viel ist sein Volumen?

Umformen in der Raumgeometrie abstrakt

Leo gibt für die Berechnung der Seite a der Basis einer quadratischen Pyramide mit Volumen V, deren Höhe h so viel wie diese Seite der Basis ist, folgende Formel an: $\qquad a={\sqrt[{3}]{3V}}$

Lageparameter

Gegeben sind die folgenden zwei Wertegruppen, das Modell DE und das Modell GR, die die Verteilung des Vermögens in Deutschland bzw. in Griechenland ähneln: DE: 16 10 10 1 1 300 10 1 1 10 und GR: 11 9 1 1 1 100 1 14 11 11 Berechnen Sie jeweils die Lageparameter und die Spannweite.

Vergleichen von Mittelwerten

Gegeben sind die folgenden zwei Wertegruppen, das Modell DE und das Modell GR, die die Verteilung des Vermögens in Deutschland bzw. in Griechenland ähneln: DE: 16 10 10 1 1 300 10 1 1 10 und GR: 11 9 1 1 1 100 1 14 11 11 Berechnen Sie jeweils die Lageparameter und die Spannweite. Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?

Mittelwerte Argumentationsaufgaben

Gegeben sind die folgenden zwei Wertegruppen, das Modell DE und das Modell GR, die die Verteilung des Vermögens in Deutschland bzw. in Griechenland ähneln: DE: 16 10 10 1 1 300 10 1 1 10 und GR: 11 9 1 1 1 100 1 14 11 11 Berechnen Sie jeweils die Lageparameter und die Spannweite. Vergleichen Sie jeweils Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen? Sind die Verteilungen gleich- oder ungleichmäßig? Was ist ihrer Unterschied? Es wurde damals oft in Zeitungen geschrieben, dass der "deutsche Steuerzahler" den Griechen "Geld gibt", obwohl Griechen "reicher sind". Welcher Lagerparameter wird in dieser Aussage verglichen? Ist dieser Vergleich wirklich aussagekräftig? Wo ist das Geld wirklich gelangen also wem hat tatsächlich der "Steuerzahler" das Geld gegeben?

Säulendiagramm

Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele SchülerInnen: genau 3 Punkte genau 5 Punkte keine Punkte höchstens 3 Punkte mindestens 3 Punkte haben mindestens 2 und höchstens 4 Punkte haben!

Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

Geben Sie den Modus an und berechnen Sie den Durchschnitt!

Lineare Funktion Diagramm

Liniendiagramm

Das Diagramm stellt die Konzentration von CO2 (y-Achse) in Bezug auf die Zeit (x-Achse, Tausende Jahre in der Vergangenheit) dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel die Konzentration vor 50, 100 und 400 Tausende Jahre war. Wann die Konzentration 280 ppmv war. Wann die Konzentration 190 ppmv war.

Klasse 9

Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Berechnen Sie das Produkt aus 6 und 7, reduzieren Sie die Zahl 39 um 48 und addieren Sie die zwei Ergebnisse! Dividieren Sie die Summe von 7 und 33 durch die Differenz von 19 und 15! Berechnen Sie das 8-fache von 7 und Subtrahieren Sie das Ergebnis aus der Zahl 23 um 15 erhöht! Multiplizieren Sie den Quotient aus 91 und 7 mit der Zahl 26 auf 13 geteilt!

Doppelbrüche

${\dfrac {\ {\frac {4}{3}}-{1}\ }{{\frac {5}{4}}-1}}$

Bruchrechnungen und Vorrang

${\frac {16}{77}}:\left({\frac {3}{5}}-1{\frac {17}{28}}:2{\frac {1}{4}}\right)-1{\frac {1}{11}}\cdot {\frac {5}{4}}$

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

In einem Staat mit ca. 9,702 Millionen EinwohnerInnen und 13,2 Milliarden € Vermögen haben 99 Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{15}}\$des Vermögens ("Multimillionäre"), noch 2640 Menschen $\textstyle \ {\frac {10}{33}}\$ des Vermögens ("Millionäre"), noch 3,528 Millionen Menschen $\textstyle \ {\frac {4}{11}}\$ des Vermögens (Mittelschicht) und die restlichen Menschen den Rest des Vermögens ("der Rest"). Wie viel Geld besitzt jede Gruppe? Welcher Anteil der Bevölkerung (als gekürzte Bruch) gehört zu jeder Gruppe? Vergleichen Sie diese Daten mit Daten aus ihrem eigenen Staat!

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

$\ {\frac {6552}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {56056}{32760}}=\qquad$

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

$2{\frac {9}{28}}+{\frac {11}{63}}-1{\frac {5}{24}}$

Vorsilben und Gleitkommadarstellung

In den folgenden Beispielen finden Sie die unbekannte Hochzahl (x). A) 37 MW = 0,0037 · 10x cW $\qquad$ B) 4,3 nm = 0,000043 · 10x dm C) 0,0334 THz = 33400 · 10x μHz $\quad$ D) 0,88 μHz = 8800000 · 10x GHz E) 67000 dm³ = 0,0067 · 10x km³ $\quad$ F) 3300 cm² = 0,033 · 10x m²

Zahlenmengen

$\quad$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {I}$ $\mathbb {R}$ $\textstyle {\frac {0{,}5}{\sqrt {0{,}0625}}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {38}{3}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {52}{1{,}3}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle {\frac {\sqrt {169}}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle {\frac {\sqrt {-9}}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${28}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $-{\sqrt {(-25)(-4)}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${\sqrt {18}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${3^{-5}}\cdot {3^{6}}$ ${b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${\frac {b^{-3}}{b^{-5}}}$ ${\frac {w^{-b}}{w^{-12}}}$

Potenzen Erklärung

Warum ist$\textstyle \ s^{-1}={\frac {1}{s}}$?

Potenzen mit negativer Hochzahl

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf! $\ \ {\frac {3}{r^{2r-4}}}=\quad$ $\ \ {\frac {11\ b^{4-5w}}{b^{3w}}}=\quad$ $\ \ 5\cdot {\frac {1}{5^{z}}}=\quad$

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

Vereinfachen Sie! ${\left(m^{50 \over 3}\right)}^{9 \over 10}$ ${\sqrt[{15}]{u^{-6}}}^{\ 5}$ $\left(\left(m^{5 \over 4}\right)^{6}\cdot {\sqrt[{11}]{m^{6}}}\cdot m^{-8}\right)^{33}$ ${\dfrac {\sqrt[{4}]{{\Bigl (}k^{7 \over 3}{\Bigr )}^{12}}}{k^{4} \over k^{-3}}}$

Aufgaben mit einer Klammer

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit einer Klammer

Herausheben

Aufgaben mit 2 Klammern

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit 2 Klammern

Herausheben

Faktorisieren Sie, so weit es mit natürlichen Zahlen geht: $18\ b^{4}\ y^{3}\ n^{4}-12\ y^{7}n^{6}-30\ b^{8}y^{1}0n^{5}+6\ y^{3}\ n^{4}$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Umformen Grundwissen Gegenrechnungenn

Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um! $7(3z+2)=9z-10$

Komplexe Umformungen

${\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-{\frac {t-s}{w-z}}=2,2$ Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, kB, cL um!

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

An einem Wohnblock gibt es 18 Wohnungen, manche haben 20 und der Rest 15 Steckdosen. Insgesamt haben sie 315 Steckdosen. Wie viele Wohnungen mit 15 bzw 20 Steckdosen gibt es?

Einsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=3\\-3x+5y=31\end{matrix}}\ \right|$

Gleichsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=-1\\-3x+2y=23\end{matrix}}\ \right|$

Additionsverfahren

Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Eliminationsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}2m-4c=8\\3m+5c=1\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}3k-2g=-11\\-2k+5g=11\end{matrix}}\ \right|$

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

$\left|\ {\begin{matrix}3x+2y=8\\4{,}5x+3y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}15x-9y=3\\x-0{,}2=0{,}6y\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}-2x+2y=11\\3x+5y=24\end{matrix}}\ \right|$

Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

$\left|\ {\begin{matrix}3x+2y=8\\4{,}5x+3y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}15x-9y=3\\x-0{,}2=0{,}6y\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}-2x+2y=11\\3x+5y=24\end{matrix}}\ \right|$

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung? Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung?

Darstellungen der linearen Funktion

Wie lautet die implizite und die Vektorform der linearen Funktion $y=bx-5$? Wie lautet die explizite und die Vektorform der linearen Funktion $2\ x-q\ y=w$? Wie lautet die explizite und die implizite Form der linearen Funktion ${\tbinom {x}{y}}={\tbinom {2}{-q}}t+{\tbinom {3}{4}}$? Berechnen Sie den Winkel zwischen den Geraden der zweiten und der dritten Funktion!

Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt), drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x) (zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x) (Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab: Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion. Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion. Die Lösungen der Gleischungssysteme, die aus folgenden Funktionen bestehen: i) h und f $\quad$ii) g und d $\quad$iii) c und f iv)e und h $\quad$v) g und f $\quad$vi) c und d

Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen $g(x)={\frac {14-3x}{7}}$$\quad f(x)={\sqrt {5}}-\pi x\quad$$q(x)=-0{,}0625x^{2}+1$ $p(x)=5x^{2}-2{,}5x\quad \ h(x)=-3x^{2}+3x-2$ Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion! Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab! Finden Sie, ob der Punkt P:(1|${\sqrt {5}}-\pi$) zu mancher der Funktionen gehört! Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab! Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme i) g und f, ii) h und q, iii) p und g

Die quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: $4y^{2}+4y+1=0$ $-5k^{2}-7k+6=0$ $-p^{2}-25=0$

Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Finden Sie die Umkehrfunktion: $\ n(y)=\tan({{\sqrt[{5}]{y}}-5\ })\ +\pi$

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an! Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn e=5 cm und m=1 dm sind?

Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um! a) $\ 7\pi \ rad$, B)$\ {\frac {7\pi }{6}}\ rad$, C)$\ 1{,}5\ rad$, D)$\ {\frac {7}{9\pi }}\ rad$, E)$\ 420\ rad$ Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um A)$\ 15^{\circ }$, B)$\ 0{,}8^{\circ }$, C)$\ 7\pi ^{\circ }$, D)$\ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }$, E)$\ 560^{\circ }$ Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis? Wo befinden sie sich im Einheitskreis? A)$\ 90^{\circ }$, B)$\ 180^{\circ }$, C)$\ 1\ rad$, D)$\ 7{,}6\ rad$, E)$\ 730^{\circ }$

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

Berechnen sie die Diagonale $d_{2}$ des abgebildeten Deltoids, wenn die Seite $a=4{,}8\ cm$, die Diagonale $d_{1}=7{,}6\ cm$ und der Winkel zwischen $a$ und $b\ \angle ab=129^{\circ }$ sind.

Vermessungsaufgaben

Vom Gipfel eines 2411 m hohen Berges wird der Abstand zwischen zwei Türmen in einem Tal gemessen, die sich beide auf einer Höhe von 356 m befinden. Zum ersten Turm wird der Tiefenwinkel $\alpha =37^{\circ }$ gemessen und nach Schwenken des Messgerätes um den Horizontalwinkel $\gamma =69^{\circ }$ zum anderen Turm wird dieser unter dem Tiefenwinkel $\beta =43^{\circ }$ gesehen. Wie viel ist der Abstand zwischen den Türmen? Machen Sie eine saubere Skizze für die Berechnung!

Vektorrechnungen

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt D zum Punkt G. Berechnen Sie: $3{\vec {a}}-2{\vec {u}}$ $|a|\$ und den Betrag des Vektors u $3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {u}}$ Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {u}}$ Die Länge des Vektors ${\vec {c}}=3{\vec {v}}_{1}-2{\vec {a}}\$(genau und gerundet) Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$ Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Die quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: $4y^{2}+4y+1=0$ $-5k^{2}-7k+6=0$ $-p^{2}-25=0$

Quadratische Gleichung Textaufgaben

Ein PKW fährt von Belgrad ins 311 km entfernte Sarajevo. Nachdem er 235 km zurückgelegt hat, begegnet ihm ein LKW, der 69 Minuten später von Sarajevo nach Belgrad abgefahren ist und in der Stunde 20 km weniger zurücklegt als der PKW. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des PKWs. Nach wie viel Zeit treffen die Wagen einander?

Klasse 10

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${3^{-5}}\cdot {3^{6}}$ ${b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${\frac {b^{-3}}{b^{-5}}}$ ${\frac {w^{-b}}{w^{-12}}}$

Potenzen Erklärung

Warum ist$\textstyle \ s^{-1}={\frac {1}{s}}$?

Potenzen mit negativer Hochzahl

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf! $\ \ {\frac {3}{r^{2r-4}}}=\quad$ $\ \ {\frac {11\ b^{4-5w}}{b^{3w}}}=\quad$ $\ \ 5\cdot {\frac {1}{5^{z}}}=\quad$

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

Vereinfachen Sie! ${\left(m^{50 \over 3}\right)}^{9 \over 10}$ ${\sqrt[{15}]{u^{-6}}}^{\ 5}$ $\left(\left(m^{5 \over 4}\right)^{6}\cdot {\sqrt[{11}]{m^{6}}}\cdot m^{-8}\right)^{33}$ ${\dfrac {\sqrt[{4}]{{\Bigl (}k^{7 \over 3}{\Bigr )}^{12}}}{k^{4} \over k^{-3}}}$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable! $\ c+5347=2744\qquad$ $\ {\tfrac {k}{7}}=13\qquad$ $\ 6f=168\qquad$ $\ x-592=-5426\qquad$ $\ 58m=986\qquad$ $\ 51w=900\qquad$

Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um! $7(3z+2)=9z-10$

Komplexe Umformungen

${\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-{\frac {t-s}{w-z}}=2,2$ Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, kB, cL um!

Exponentialfunktion und Logarithmus

Wie viel ist die gesuchte Variable in den folgenden Aufgaben? $e^{\lambda }={\frac {1}{2}}\quad$ $\ln m=-3\quad$ ${\text{log}}_{3}v=0\quad$ $7^{\alpha }=3^{3}$ $3^{8}=e^{4\lambda }$

Arbeiten mit Logarithmen

Zerlegen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in den möglichst einfachsten Logarithmanden. $\ln \left(e^{e}{\frac {b^{c}}{b+m}}\right)^{\sqrt {2}}$ Fassen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in einen Logarithmanden. $4-d\log _{v}6+4\log _{v}e$

Folgen

Die Größe vier Geschwister stellt eine geometrische Folge dar. Vom kleinsten aus heißen sie Andi, Lisa, Tom und Aria. Aria ist $182\ cm$ groß, Tom 5% kleiner. Wie viel Prozent größer als Tom ist Aria? Wie viel Prozent kleiner als Tom ist Lisa? Wie groß ist Andi?

Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Drei verschiedene Schulen (Alpha, Sigma und Omega) machen eine Exkursion nach London. Wenn wir aus der Summe der Fünffachen der Personen aus Sigma und des Doppelten aus Omega die Personen aus Alpha subtrahieren, dann wäre das Ergebnis 700 (Personen). Sigma fliegt und stoßt damit 450 kg CO2 für 200€ pro Person aus, Alpha fährt mit dem Zug und stoßt damit 40 kg CO2 für 300€ pro Person aus und Omega fährt mit dem Bus und stoßt damit 36 kg CO2 für 240€ pro Person aus. Für alle Schulen zusammengerechnet sind die Kosten 120 Tausend € und der CO2 Ausstoß 67,4 t. Wie viele Personen aus jeder Schule fahren?

Polynomfunktionen Diagramm

In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts! A B C D E F G H I

Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt), drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x) (zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x) (Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab: Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion. Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion. Die Lösungen der Gleischungssysteme, die aus folgenden Funktionen bestehen: i) h und f $\quad$ii) g und d $\quad$iii) c und f iv)e und h $\quad$v) g und f $\quad$vi) c und d

Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen $g(x)={\frac {14-3x}{7}}$$\quad f(x)={\sqrt {5}}-\pi x\quad$$q(x)=-0{,}0625x^{2}+1$ $p(x)=5x^{2}-2{,}5x\quad \ h(x)=-3x^{2}+3x-2$ Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion! Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab! Finden Sie, ob der Punkt P:(1|${\sqrt {5}}-\pi$) zu mancher der Funktionen gehört! Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab! Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme i) g und f, ii) h und q, iii) p und g

Funktionserkennung in Diagramm

Welches der folgenden Diagrammen stellt was dar? A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion, K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L) $\textstyle {\frac {a}{x}}$ M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Funktionsdiagramme Eigenschaften erkennen

Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und beantworten Sie die entsprechende Frage! Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm? Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen? $ax^{2}+bx+c\$ist die quadratische Funktion. Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv? $ae^{b\ x}\$ist die exponentielle Funktion. ${\frac {a}{x}}\$ist die indirekte Proportionalität. Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv? In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte Proportionalität steigend bzw. fallend? Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und ihre Umkehrfunktion? Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion fs(x)?

Funktionserkennung in Text

Im Folgenden finden wir verschiedene Diagramme, Formel und Namen von Funktionen als auch Textaufgaben darüber. Welche sind die richtigen Kombinationen für jede Textaufgabe? Mit Hilfe der Textaufgaben finden Sie die Werte der Parameter a und b in der dem Text entsprechenden Formel. Texte TA (Text A) Fanny will feststellen, ob ihre Katze einen freien Fall überlebt und lässt sie aus einem 8 m hohen Turm mit einer 3 m/s² festen Beschleunigung Fallen. TB (Text B) Die Bevölkerung in Deutschland ist ca. 82 Millionen und wird jede Jahrzehnte um 2,3% weniger. TC (Text C) Bei der Schwingung einer Feder ist die maximale Ablenkung 3 cm, eine vollständige Wiederholung braucht 350 ms. TD (Text D) Ein Baum ist 3,5 m groß und wächst pro Woche um 5 cm. TE (Text E) Eine 1,8 dm große Kerze schmilzt jede Stunde um 3 cm. TF (Text F) Wenn wir auf einen Nagel eine Kraft ausüben, ist der Druck desto größer, je kleiner die Fläche A an der Spitze des Nagels ist aber je größer die Kraft F ist. (Hier a und b durch entsprechende Symbole ersetzten) TG (Text G) Ein Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde. Am Anfang gibt es 5 Bakterien. Diagramme DA (Diagramm A) DB (Diagramm B) DC (Diagramm C) DD (Diagramm D) DE (Diagramm E) DF (Diagramm F) DG (Diagramm G) DH (Diagramm H) DI (Diagramm I) Funktionsnamen NA: (Name A) lineare, NB:(Name B) quadratische, NC: (Name C) exponentielle, ND: (Name D) logarithmische, NE: (Name E) Potenzfunktion 3. Grades, NF: (Name F) Sinusfunktion, NG: (Name G) Wurzelfunktion, NH:(Name H) indirekte Proportionalität. Formeln FA: (Formel A)$\ y=a\ x+b\quad$FB: (Formel B)$\ y=a\ e^{b\ x}\quad$FC: (Formel C)$\ y=a\tan b\ x\quad$ FD: (Formel D)$\textstyle \ y={\frac {a}{b}}\quad$FE: (Formel E)$\ \textstyle \ y=a\sin {\frac {1}{2\pi b}}x\quad$ FF: (Formel F)$\ y=a\ x^{2}+b\quad$FG: (Formel G)$\ y=a\ x^{3{,}2}+b\quad$

Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Finden Sie die Umkehrfunktion: $\ n(y)=\tan({{\sqrt[{5}]{y}}-5\ })\ +\pi$

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an! Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn e=5 cm und m=1 dm sind?

Trigonometrische Umkehrfunktionen

Der Sinus eines Winkels ist $\textstyle {\frac {77}{85}}$. Wie viel ist der Kosinus? Wie groß ist der Winkel? Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels mit Sinus $\textstyle {\frac {77}{85}}\$ 11 cm ist? Schreiben Sie eine Formel für den Winkel $\phi$ in Bezug auf die Seiten m und e auf! Wie groß ist der Winkel $\phi$ im Bild, wenn m=37 cm und e=300 mm sind? Die Steigung eines Winkels ist 20%. Wie groß ist der Winkel?

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen Funktionen in einem allgemeinen Dreieck! $\quad {\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}$

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 119 vm, die größere 1,2 m. Wie viel genau ist der Tangens, der Sinus und der Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie groß der andere Winkel?

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren i) Sinus $-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$ ist.$\quad$ii) Kosinus ${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$ ist.

Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um! a) $\ 7\pi \ rad$, B)$\ {\frac {7\pi }{6}}\ rad$, C)$\ 1{,}5\ rad$, D)$\ {\frac {7}{9\pi }}\ rad$, E)$\ 420\ rad$ Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um A)$\ 15^{\circ }$, B)$\ 0{,}8^{\circ }$, C)$\ 7\pi ^{\circ }$, D)$\ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }$, E)$\ 560^{\circ }$ Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis? Wo befinden sie sich im Einheitskreis? A)$\ 90^{\circ }$, B)$\ 180^{\circ }$, C)$\ 1\ rad$, D)$\ 7{,}6\ rad$, E)$\ 730^{\circ }$

Baumdiagramm

In einer Urne gibt es 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass: alle 3 Kugel rot sind? alle 3 Kugel schwarz sind? die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind? wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen? wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen? das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen? alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?

Satz von Bayes konkretes Beispiel

In einem Studentenheim wohnen 35 Studenten und 48 Studentinnen. 80% der Studenten und ein Drittel der Studentinnen fahren zum Lebensmittel-Einkauf mit dem Auto, der Rest mit dem Fahrrad oder zu Fuss. Eine Person aus dem Heim fährt gerade zum Einkauf mit dem Auto. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist?

Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Nach den optimistischsten Voraussagen über die Menschen-verursachte Erderwärmung, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur bis 2050 „nur“höchstens 1,5°C steigt, 18%. Wenn wir allerdings keine Massnahmen treffen, ist sie nur 5%. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solche Massnahmen treffen, wenn wir die politische Situation und das Benehmen der Erdbevölkerung in Anbetracht nehmen, liegt bei 24% . Nehmen wir an, wir leben schon im Jahr 2050 und die Temperaturerhöhung ist tatsächlich weniger als 1,5°C geblieben. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, das dies geschehen ist, obwohl wir keine Massnahmen getroffen haben?

Klasse 11

Ableitung von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2? $g(n)={\tfrac {4}{7}}\ n^{7}\quad$ $v(y)=y^{\pi }\quad$ $u(g)=0{,}4\ g^{5}$

Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $a(c)={\sqrt {b}}\left({\frac {1}{c}}\right)^{\sqrt {\frac {1}{b}}}$ $v(t)={\sqrt[{k}]{t^{3}}}\quad$ $f(x)={\frac {7}{x^{t}}}\quad$

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $V(h)={\sqrt[{u}]{\frac {1}{h^{6}}}}$ $H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {343}{x^{11}}}}$ $m(n)={\sqrt[{t}]{\frac {5^{t}}{n^{5}}}}$

Ableitung und Grenzwerten

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung der Funktion $y=ax^{4}$!

Ableitungen von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle −2. $\ b(d)=5\ \sin d-\ln d+{\frac {4}{5\ d^{4}}}+6$ $\ v(y)={\frac {7}{\sqrt[{7}]{y^{3}}}}-\cos y+y-y^{-5}$ $\ t(x)=5\ e^{x}-{\sqrt[{3}]{\frac {0{,}125}{x^{6}}}}+\tan x\quad$

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(6|2)\$ und $\ P_{2}:(3{,}5|7)$. Ihre Ableitung an der Stelle 4 ist null. Wie lautet die Funktion?

Ableitungsregeln

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion $g(a)=\sin {\frac {a^{2}}{3^{a}}}$ (Mit Lösungsschritte!)

Kurvendiskussion

Gegeben ist die Funktion $g(x)={\tfrac {\sqrt[{3}]{x^{13}}}{5}}-x^{3}+{\tfrac {x^{2}}{5}}-x+1$ Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Kurvendiskussion Umkehraufgaben

Temperatur (°C): $4$ $5$ $1$ Höhe (dm): $\ \ 3\ \$ $\ \ 3{,}4\ \$ $\ \ 0\ \$ In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank als quadratische Funktion dargestellt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion. Die nebenan als r abgebildete Funktion 3. Grades führt am Punkt (0|0) knickfrei zur entsprechenden Ebene. Den Wert an der Stelle 4 kann man im Diagramm ablesen. Es gilt dazu: $r'\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}+6}{3}}\right)=1.$ Wie lautet die Funktion?

Binomialverteilung

Die Ansteckungswahrscheinlichkeit eines grippalen Infekts nach einem Kuss am Backen ist 13,5%. Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Eine ansteckende Person hat an einem Tag 9 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 13 geküssten Personen höchstens 4 angesteckt wurden? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 geküssten Personen die Hälfte oder mehr angesteckt wurden?

Klasse 12

Mathematrix: BY GYM/ Aufgaben/ Klasse 12

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